2021年全国卷Ⅰ理数高考试题(含答案).docx

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绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 M = {x -4 < x < 2}，N = {x x2 - x - 6 < 0}，则 M I N=
A．{x -4 < x < 3}
B．{x -4 < x < -2}
C．{x -2 < x < 2}
D．{x 2 < x < 3}
13
2．设复数 z 满足 z - i =1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则
13
A． (x+1)2 + y2 = 1
B． (x -1)2 + y2 = 1
C． x2 + ( y -1)2 = 1
D． x2 + ( y+1)2 = 1
13
2
3．已知 a = log ，b = ，c = ，则
13
A． a < b < c
B． a < c < b
C． c < a < b
D． b < c < a
13
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
5 -1（
2
5 -1
2
7
≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与
13
咽喉至肚脐的长度之比也是
5 -1．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子
2
13
下端的长度为 26 cm，则其身高可能是
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
13
5．函数 f(x)=
sinx + x
cosx + x2
在[-p, p]的图像大致为
13
A． B．
C． D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是
13
A． 5
16
B． 11
32
C． 21
32
D． 11
16
13
13
7．已知非零向量 a，b 满足
| a |= 2 | b |，且(a - b) ^b，则 a 与 b 的夹角为
13
13
A． π
6
B． π
3
C． 2π
3
D． 5π
6
13
13
8．如图是求 1
2 + 1
的程序框图，图中空白框中应填入
13
2 + 1
2
13
A．A=

1
2 + A

B．A= 2 + 1
A

C．A=

1
1+ 2 A

D．A=1+ 1
2 A
13
9．记 Sn为等差数列{an }的前 n 项和．已知 S4 = 0，a5 = 5，则
13
A． an
= 2n - 5
B． an
= 3n -10
C． Sn
= 2n2 - 8n
D． Sn
= 1 n2 - 2n
2
13
10．已知椭圆 C 的焦点为 F1( -1, 0) ，F2(1, 0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若| AF2 |= 2 | F2 B |，
| AB |=| BF1 |，则 C 的方程为
13
+
2
A． x y2 = 1

1
+ =
x2 y2
B．

x2 y2
1
+ =
C．

x2 y2
1
+ =
D．
13
2 3 2 4 3 5 4
13
11．关于函数 f (x) = sin | x | + | sin

x |有下述四个结论：
13
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ p, p）单调递增
2
③f(x)在[-p, p]有 4 个零点 ④f(x)的最大值为 2
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 12．已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F
分别是 PA，PB 的中点，∠CEF=90°，则球 O 的体积为
28
A． 8 6p
B． 4 6p
C． 2 6p
D． 6p
13
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．曲线 y = 3(x2 + x)ex在点(0，0)处的切线方程为 ．
13
14．记 S
为等比数列{a }的前 n 项和．若 a = 1，a2 = a，则 S = ．
13
n n 1 3 4 6 5
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 ，客场取胜的概率为 ，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是 ．
x2 - y2 = > >
13
16．已知双曲线 C： a2 b2 1(a 0, b
的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线
13
uuur uuur uuur uu ur
分别交于 A，B 两点．若 F1 A = AB， F1B × F2 B = 0，则 C 的离心率为 ．
（一）必考题：共 60 分。
17．(12 分)
△ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设(sin B - sin C)2 = sin2 A - sin B sin C．
13
（1）求 A；
35
（2）若
2a + b = 2c，求 sinC．
13
18．（12 分）
如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，
BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN∥平面 C1DE；
（2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值．
19．（12 分）
已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 3的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P．
2
（1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程；
uuur uuur
（2）若 AP = 3PB，求|AB|．
20．（12 分）
已知函数 f (x) = sin x - ln(1+ x)， f ¢(x)为 f (x)的导数．证明：
13
f ¢(x)在区间(-
p
存在唯一极大值点；
13
1, )
2
f (x)有且仅有 2 个零点．
21．（12 分）
13
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方 案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施 以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白 鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈
且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 -1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、
乙两种药的治愈率分别记为 α 和 β，一轮试验中甲药的得分记为 X．
（1）求 X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， pi (i = 0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效” 的概率， 则 p0 = 0， p8 = 1， pi = api-1 + bpi + cpi+1 (i = 1, 2,L, 7)， 其中a = P( X = -1)， b = P( X = 0)， c = P( X = 1)．假设a= ， b= ．
(i)证明：{ pi+1 - pi } (i = 0,1, 2,L, 7)为等比数列；
(ii)求 p4，并根据 p4的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共 10 分。请考Th在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
ì 1- t 2
x = ，
ï 1+ t 2
40
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 í
ï
ï y =
î
4t 1+ t 2
（t 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴的
13
正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2rcosq+ 3rsinq+11 = 0．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明：
13
（1） 1 + 1 + 1 £ a2 + b2 + c2；
a b c
（2） (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 ³ 24．
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D
二、填空题
121
13．y=3x 14． 15． 16．2
3
三、解答题
17．解：（1）由已知得sin2 B + sin2 C - sin2 A = sin B sin C，故由正弦定理得b2 + c2 - a2 = bc．
b2 + c2 - a2 1
由余弦定理得cos A = =．
2bc 2
43
因为0° < A < 180°，所以 A = 60°．
（2）由（1）知 B = 120° - C，由题设及正弦定理得

2 sin A + sin (120° - C )= 2 sin C，
13
即 6 + 3 cos C + 1 sin C = 2 sin C，可得cos (C + 60° )= - 2．
2 2 2 2
2
由于0° < C < 120°，所以sin (C + 60° )= 2，故
sin C = sin (C + 60° - 60° )
13
= sin (C + 60° )cos 60° - cos (C + 60° )sin 60°
6 + 2
= ．
4
18．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
1
所以ME∥B1C，且ME= 2B1C．
1
又因为N为A1D的中点，所以ND= 2A1D．
由题设知A1B1 =PDC，可得B1C =PA1D，故ME =PND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．
又MN Ë平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
（2）由已知可得DE⊥DA．
uuur
以D为坐标原点， DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则
46
A(2, 0, 0)， A1(2,0,4) ，

M (1, 3, 2)，

N (1, 0, 2)，
uuur
A1 A = (0, 0, -4)，
uuuur
A1M = (-1, 3, -2)，
13
uuuur uuuur
13
A1 N = (-1, 0, -2)， MN = (0, -
3, 0)．
13
ìïm × uuuur
50
设 m = (x, y, z)为平面A1MA的法向量，则í
A1M = 0
uuur，
13
ïîm × A1 A = 0
ìï-x + 3y - 2z = 0，
13
î
所以íï-4z = 0．
可取 m = ( 3,1, 0)．
ìïn ×
uuuur
MN = 0，
13
设 n = ( p, q, r)为平面A1MN的法向量，则í uuuur
ïîn × A1 N = 0．
ìï- 3q = 0，
所以 可取 n = (2, 0, -1)．
ïî
í- p - 2r = 0．
2 3
2 ´ 5
15
m × n
于是cosám, nñ = = =，
| m‖n | 5
10
所以二面角 A - MA1 - N的正弦值为 ．
5
19．解：设直线l : y = 3 x + t, A(x , y ), B (x , y )．
2 1 1 2 2
13
（1）由题设得 F æ 3 , 0 ö，故| AF | + | BF |= x + x
3，由题设可得 x + x
= 5．
13
ç 4 ÷
1 2 2
1 2 2
13
è ø
13
ì y = 3 x + t

12(t -1)
13
由ï 2
，可得9x2 +12(t -1)x + 4t 2 = 0，则 x + x = - ．
13
í
ïî y2 = 3x
1 2 9
13
从而- 12(t -1) = 5，得t = - 7．
9 2 8
所以l的方程为 y = 3 x - 7．
2 8
uuur uuur
（2）由 AP = 3PB可得 y1 = -3y2．
13
í
ì y = 3 x + t
62
由ï 2
，可得 y2 - 2 y + 2t = 0．
13
ïî y2 = 3x
所以 y1 + y2 = 2．从而-3y2 + y2 = 2，故 y2 = -1, y1 = 3．
代入C的方程得 x = 3, x = 1．
1 2 3
4 13
故| AB |=．
3
13
20．解：（1）设 g(x) =

f '(x)，则 g(x) = cos x -

1
1+ x

， g'(x) = - sin x +

1
(1+ x)2.
13
æ p ö p æ p ö
当 x Î ç -1, 2 ÷时， g'(x)单调递减，而 g'(0) > 0, g'( 2 ) < 0，可得 g'(x)在ç -1, 2 ÷有唯一零点，
è ø è ø
设为a.
Î - a > x Î a, 2 <
æ p ö
则当 x ( 1, ) 时 ， g'(x) 0；当 ç ÷时， g'(x) 0.
è ø
所以 g(x)在(-1,a)单调递增，在æa, p ö单调递减，故 g(x)在æ -1, p ö存在唯一极大值点，
ç 2 ÷ ç 2 ÷
è ø è ø
即 f '(x)在æ -1, p ö存在唯一极大值点.
ç 2 ÷
è ø
（2） f (x)的定义域为(-1, +¥).
（i）当 x Î (-1, 0]时，由（1）知， f '(x)在( -1,0)单调递增，而 f '(0) = 0，所以当 x Î (-1, 0)
时， f '(x) < 0，故 f (x)在( -1,0)单调递减，又 f (0)=0，从而 x = 0是 f (x)在(-1, 0]的唯一 零点.
13