2021年全国初中数学竞赛试题含答案(福建赛区).docx

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青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。
2021年全国初中数学竞赛试题及答案（福建赛区）
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）
（1）设，则代数式的值为( ).
（A）0
（B）1
（C）﹣1
（D）2
【答】C．
解：由已知得 于是

*（2）对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”为；（a，b）△（c，d）=（a c+bd，ad +b c）。如果对于任意实数u，v，都有（u，v）△（x，y）=（u，v），那么（x，y）为（ ）。
（A）（0，1） （B）（1，0） （C）（-1，0） （D）（0，-1）
答案B
第（5）题
*（3）已知A，B是两个锐角，使满足，，则实数t所有可能的和为（ ）。
（A） （B） （C）1 （D）
答案B
（4）点分别在△的边上，相交于点，设，
则与的大小关系为( ).
青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。6
青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。
（A） （B） （C） （D）不能确定
【答】C．
解：如图，连接，设，
则，从而有．因为，所以．
（5）设，则的整数部分等于( ).
（A）4
（B）5
（C）6
（D）7
【答】A．
解：当，因为，
所以．
于是有，故的整数部分等于4．
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
（6）两条直角边长分别是整数（其中），斜边长是的直角三角形的个数为 .
【答】31．
解：由勾股定理,得 ．因为b是整数，，所以是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即．因此a一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．
（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .
【答】．
解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，
青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。6
青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。
4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是.
（8）如图，双曲线（x＞0）与矩形OABC的边CB， BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EF，则△OEF的面积为 .
【答】．
解：如图，设点B的坐标为,，所以 又点在双曲线上，且纵坐标
第（9）题
为，
（9）⊙Ｏ的三个不同的内接正三角形将⊙Ｏ分成的区域的个数为_________。
答案28
【解答】不妨设。⊙Ｏ的半径为1，则以点O为圆心，⊙Ｏ的内接正三角形的内切圆．因为过内切圆外一点只能作这个内切圆的两条切线，所以，⊙Ｏ的三个不同的内接正三角形中没有三条边交于一点，于是区域的个数为 28 .
（10）设四位数满足，则这样的四位数的个数为________。
答案5
青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。6
青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
（11）已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.
解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，
则方程的两根为，由题意得
， ………………………………5分
两式相加，得，即 ，
所以， 或 ………………………………10分
解得 或
又因为
所以；或者，
故，或29. ………………………………………………20分
青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。6
青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。
（12）如图，点为△的垂心，以为直径的⊙和△的外接圆⊙相交于点，延长交于点，
求证：点为的中点.
证明：如图，延长交⊙于点，
连接.
因为为⊙的直径，
所以∠∠．…………5分
故为⊙的直径.
于是. ……………………………………………………10分
又因为点为△的垂心，所以
所以∥，∥，
四边形为平行四边形. ………………………………………………15分
所以点为的中点. ………………………………………………20分
（13）若从1，2，3，……，n中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5，其中总有个整数十素数，求n的最大值。
青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。6
青年干部既要会干，更要干好，既要继承经验，又要勇于创新，面对发展中的新问题要着力培养创新思维、辩证思维去看待解决，在解决问题中增长实干本领，努力做一名新时代中国特色社会主义事业的建设者和接班人。
（14）已知，且，证明：中一定存在两个数，使得．
证明：令， ……………………………………5分
则. …………………………………10分
故一定存在≤≤2010，
使得，从而． …………………………………15分
即 ． …………………………………………20分