2021年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷.docx

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2019 年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷
1．4 的算术平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．±16
2．鼓楼区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑 15000 次．用科学记数法表示 15000
是（ ）
A．×106 B．×105
C．×104
D．15×105
3．计算（﹣a）2•（a2）3（ ）
A．a8 B．﹣a8
C．a7
D．﹣a7
4．若顺次连接四边形 ABCD 各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（ ）
A．AB∥CD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
5．如图是某家庭 2018 年每月交通费支出的条形统计图，若该家庭 2018 年月交通费平均支出为 a 元，则下列结论中正确的是（ ）
A．200≤a≤220 B．220≤a≤240 C．240≤a≤260 D．260≤a≤280
6．A、B 两地相距 900km，一列快车以 200km/h 的速度从 A 地匀速驶往 B 地，到达 B 地后立刻原路返回 A 地，一列慢车以 75km/h 的速度从 B 地匀速驶往 A 地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距 200km 的次数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
7．﹣3 的绝对值是 ．
8．若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
9．计 ﹣ 的结果是 ．
10．方程 ＝ 的 解是 ．
11．正五边形每个外角的大小是 度．
12．已知关于 x 的方程 x2+mx﹣2＝0 有一根是 2，则另一根是 ，m＝ ．
13．如图，AB∥EG∥CD，EF 平分∠BED，若∠D＝69°，∠GEF＝21°，则∠B＝ °．
14．如图，圆锥底面圆心为 O，半径 OA＝1，顶点为 P，将圆锥置于平面上，若保持顶点 P 位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点 A 恰好回到原处，则圆锥的高 OP＝ ．
15．如图，点 A、B、C、D 在⊙O 上，B 的中点，过 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E．若∠AEC
＝84°，则∠ADC＝ °．
16．在△ABC 中，AB＝5，AC＝4，BC＝3．若点 P 在△ABC 内部（含边界）且满足 PC≤PA≤PB，则所有点 P 组成的区域的面积为 ．
三、解答题
17．解不等式 ． 18．计算
19．（1）解方程 x2﹣x﹣1＝0．
（2）在实数范围内分解因式 x2﹣x﹣1 的结果为 ．
20．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点 E 在 BC 上．
（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求证：∠EAC＝∠DEB．
21．（1）两只不透明的袋子中均有红球、黄球、白球各 1 个，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个袋子中随机摸出一个球，求摸出两个球都是红球的概率．
（2）鼓楼区实施全面均衡分班，某校为七年级各班随机分配任课教师．已知该校七年级共有 10 个班， 语文洪老师、数学胡老师都执教该年级，则他俩都任教七（1）班的概率为 ．
22．妈妈准备用 5 万元投资金融产品，她查询到有 A、B 两款“利滚利”产品，即上一周产生的收益将计入本金以计算下一周的收益．例如：投资 100 元，第一周的周收益率为 5%，则第一周的收益为 100×
5%＝5 元，第二周投资的本金将变为 100+5＝105 元．如图是这两款产品过去 5 周的周收益率公告信息．（第一周：3 月 1 日～3 月 7 日）
（1）若妈妈 3 月 1 日投资产品 B，到第二周结束时会不赚不赔，这种说法对吗？请判断并说明理由．
（2）请运用学过的统计知识，为妈妈此次投资金融产品提出建议并简要说明理由．
23．已知点 A（1，1），B（2，3），C（4，7），请用两种不同的方法判断这三点是否在一条直线上．（写出必要的推理过程）
24．已知：如图，在▱ ABCD 中，G、H 分别是 AD、BC 的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E、F．
（1）求证：四边形 GEHF 是平行四边形；
（2）已知 AB＝5，AD＝8．求四边形 GEHF 是矩形时 BD 的长．
25．某商品的进价是每件 40 元，原售价每件 60 元．进行不同程度的涨价后，统计了商品调价当天的售价和利润情况，以下是部分数据：
售价（元/件）
60
61
62
63
…
利润（元）
6000
6090
6160
6210
…
（1）当售价为每件 60 元时，当天售出 件；
（2）若对该商品原售价每件涨价 x 元（x 为正整数）时当天售出该商品的利润为 y 元．
①用所学过的函数知识直接写出 y 与 x 之间满足的函数表达式： ．
②如何定价才能使当天的销售利润不低于 6200 元？
27．把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为 0 的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．
例如：如图，将 y＝x 的图象经过倒数变换后可得到 的图象．特别地，因为 y＝x 图象上纵坐标为
0 的点是原点，所以该点不作变换，因此 的图象上也没有纵坐标为 0 的点．
（1）请在下面的平面直角坐标系中画出 y＝﹣x+1 的图象和它经过倒数变换后的图象．
（2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识，
①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可．
②说理：请简要解释你其中一个猜想．
（3）请画出函数 y＝ （c 为常数）的大致图象．
2019 年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．4 的算术平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．±16
【解答】解：∵22＝4，
∴4 的算术平方根是 2． 故选：B．
2．鼓楼区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑 15000 次．用科学记数法表示 15000
是（ ）
A．×106 B．×105 C．×104 D．15×105
【解答】解：用科学记数法表示 15000 是：×104． 故选：C．
3．计算（﹣a）2•（a2）3（ ）
A．a8 B．﹣a8 C．a7 D．﹣a7
【解答】解：（﹣a）2•（a2）3＝a2•a6＝a8，故选：A．
4．若顺次连接四边形 ABCD 各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（ ）
A．AB∥CD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
【解答】解：如图，连接 AC，BD，
点 E、F、G、H 分别为四边形 ABCD 各边中点，
∴EH＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，
∴四边形 EFGH 为平行四边形，
当 EH＝EF 时，四边形 EFGH 为菱形， 又 BD，
若 EH＝EF，
则 AC
＝BD． 故选：D．
5．如图是某家庭 2018 年每月交通费支出的条形统计图，若该家庭 2018 年月交通费平均支出为 a 元，则下列结论中正确的是（ ）
A．200≤a≤220 B．220≤a≤240 C．240≤a≤260 D．260≤a≤280
【解答】解：设 i 月份的交通费为 xi（1≤i≤12，且 i 为整数）．
由图可知，240＜x1≤250，260＜x2＜270，280＜x3＜300，280＜x4＜290，260＜x5＜280，240＜x6＜250，
240＜x7＜260，230＜x8＜240，180＜x9＜190，200＜x10＜210，240＜x11＜250，270＜x12＜280，
则 （ 240+260+280+280+260+240+240+230+180+200+240+270 ） ＜ a ＜
（250+270+300+290+280+250+260+240+190+210+250+280），
解得 ＜a＜255，
综观各选项，只有 C 符合． 故选：C．
6．A、B 两地相距 900km，一列快车以 200km/h 的速度从 A 地匀速驶往 B 地，到达 B 地后立刻原路返回 A 地，一列慢车以 75km/h 的速度从 B 地匀速驶往 A 地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距 200km 的次数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：设两车相距 200km 时，行驶的时间为 t 小时，依题意得：
①当快车从 A 地开往 B 地，慢车从 B 地开往 A 地，相距 200km 时，则有：
200t+75t+200＝900，
解得 ；
②当快车继续开往 B 地，慢车继续开往 A 地，相遇后背离而行，相距 200km 时，
200t+75t﹣200＝900，
解得：t＝4；
③快车从 A 地到 B 地全程需要 小时，此时慢车从 B 地到 A 地行驶 ×75＝，
∵＞200
∴快车又从 B 地返回 A 地是追慢车，追上前相距 200km，则有： 75t＝200+200（t﹣），
解得 ；
④快车追上慢车后并超过慢车相距 200km，则有： 200（t﹣）﹣75t＝200
解得：t＝
⑤快车返回 A 地终点所需时间是 9 小时，此刻慢车行驶了 9×75
＝675km， 距终点还需行驶 25km，则有：
75t＝900﹣200
解得 ．
综合所述两车恰好相距 200km 的次数为 5 次． 故选：A．
二、填空题
7．﹣3 的绝对值是 3 ．
【解答】解：﹣3 的绝对值是 3．
8．若式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x≥﹣1 ．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0， 解得 x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
9．计算 的结果是 2 ．
【解答】解：原式 ﹣
＝3 ﹣
＝2 ．
故答案为 ．
10．方 ＝的解是 x＝﹣4 ．
【解答】解：去分母得：x＝2x+4， 解得：x＝﹣4，
经检验 x＝﹣4 是分式方程的解， 故答案为：x＝﹣4
11．正五边形每个外角的大小是 72 度．
【解答】解：∵360÷5＝72（度），
∴正五边形每个外角的大小是 72 度． 故答案为：72．
12．已知关于 x 的方程 x2+mx﹣2＝0 有一根是 2，则另一根是 x＝﹣1 ，m＝ ﹣1 ．
【解答】解：把 x＝2 代入，得 22+2m﹣2＝0． 解得 m＝﹣1．
设方程的另一根为 x，则 2x＝﹣2． 所以 x＝﹣1．
故答案是：x＝﹣1；﹣1．
13．如图，AB∥EG∥CD，EF 平分∠BED，若∠D＝69°，∠GEF＝21°，则∠B＝ 27 °．
【解答】解：∵AB∥EG∥CD，∠D＝69°，
∴∠GED＝∠D＝69°，
∵∠GEF＝21°，
∴∠DEF＝∠GED﹣∠GEF＝48°，
∵EF 平分∠BED，
∴∠BEF＝∠DEF＝48°，
∴∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝48°﹣21°＝27°，
∵ABB∥EG，
∴∠B＝∠BEG＝27°， 故答案为：
27．
14．如图，圆锥底面圆心为 O，半径 OA＝1，顶点为 P，将圆锥置于平面上，若保持顶点 P 位置不变，将圆锥顺时针滚动三周后点 A 恰好回到原处，则圆锥的高 OP＝ 2 或 ．
【解答】解：当 A 点第一次回到 A 点：2π×PA＝3×2π×1， 所以 PA＝3，
所以圆锥的高 ＝＝2． 当 A 点第二次回到 A 点：2×2π×PA＝3×2π×1， 所以 ，
所以圆锥的高 OP＝ ＝．
故答案为 2 ．
15．如图，点 A、B、C、D 在⊙O 上，B 的中点，过 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E．若∠AEC
＝84°，则∠ADC＝ 64 °．
【解答】解：连接 BD、BC，
∵B 的中点，
∴＝，
∴，
∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，
∴∠EBC＝∠ADC，
∵EC 是⊙O 的切线，切点为 C，
∴∠BCE＝∠BDC＝∠ADC，
∵∠AEC＝84°，∠AEC+∠BCE+∠EBC＝180°，
∴84°+∠ADC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝64°． 故答案为 64．
16．在△ABC 中，AB＝5，AC＝4，BC＝3．若点 P 在△ABC 内部（含边界）且满足 PC≤PA≤PB，则所有点 P 组成的区域的面积为 ．
【解答】解：分别作 AB，AC 的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，交 AC 于点 D，
∵若点 P 在△ABC 内部（含边界）且满足 PC≤PA≤PB，
∴点 P 在△DEF 内部（含边界），
∵DE⊥AC，EF⊥AB，
∴△DEF 是直角三角形，△AEF 是直角三角形，
∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AD＝2，AE＝，DE＝，
∵AE2＝AD•AF，
∴AF＝，
∴DF＝，
∴△DEF 的面积××＝；
三、解答题
17．解不等式组 ．
【解答】解： ，
由①得，x＞﹣2， 由②得，x≤1，
所以不等式组的解集为﹣2＜x≤1．
18．计算
【解答】解：原式 ÷＝•＝．
19．（1）解方程 x2﹣x﹣1＝0．
（2）在实数范围内分解因式 x2﹣x﹣1 的结果为 ＝（x﹣ ）（x﹣ ） ．
【解答】解：（1）x2﹣x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5， x＝ ，
x1＝ ；
（2）∵方程 x2﹣x﹣1＝0 的解 x1＝ ；
∴x2﹣x﹣1＝（x﹣ ）（x﹣ ），故答案为：（x﹣ ）（x﹣ ）．
20．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点 E 在 BC 上．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求证：∠EAC＝∠DEB．
【解答】解：（1）∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，
∴△ABC≌△ADE（SSS）；
（2）由△ABC≌△ADE，
则∠D＝∠B，∠DAE＝∠BAC．
∴∠DAE﹣∠ABE＝∠BAC﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC． 设 AB 和 DE 交于点 O，∵∠DOA＝BOE，∠D＝∠B，
∴∠DEB＝∠DAB．
∴∠EAC＝∠DEB．
21．（1）两只不透明的袋子中均有红球、黄球、白球各 1 个，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个袋子中随机摸出一个球，求摸出两个球都是红球的概率．
（2）鼓楼区实施全面均衡分班，某校为七年级各班随机分配任课教师．已知该校七年级共有 10 个班， 语文洪老师、数学胡老师都执教该年级，则他俩都任教七（1）班的概率为 ．
【解答】解：（1）摸出两个球都是红球的概率＝ ＝ ；
答：摸出两个球都是红球的概率 ；
（2）他俩都任教七（1）班的概率 ×＝， 答：他俩都任教七（1）班的概率 ．
故答案为 ．
22．妈妈准备用 5 万元投资金融产品，她查询到有 A、B 两款“利滚利”产品，即上一周产生的收益将计入本金以计算下一周的收益．例如：投资 100 元，第一周的周收益率为 5%，则第一周的收益为 100×
5%＝5 元，第二周投资的本金将变为 100+5＝105 元．如图是这两款产品过去 5 周的周收益率公告信息．（第一周：3 月 1 日～3 月 7 日）
（1）若妈妈 3 月 1 日投资产品 B，到第二周结束时会不赚不赔，这种说法对吗？请判断并说明理由．
（2）请运用学过的统计知识，为妈妈此次投资金融产品提出建议并简要说明理由．
【解答】解：（1）这种说法不对，理由：设开始投资 x 元，
则两周结束时的总资产为：x（1+2%）（1﹣2%）＝≠x，故到第二周结束时会不赚不赔，这种说法不对；
（2）选择 A 产品，理由：由图可以看出两个产品平均收益率相近，但 A 产品波动较小，方差较小，且一直是正收益，说明收益比较稳定，故选择 A 产品．
23．已知点 A（1，1），B（2，3），C（4，7），请用两种不同的方法判断这三点是否在一条直线上．（写出必要的推理过程）
【解答】解：A、B、C 三点在一条直线上．
方法一：设 AB 两点所在直线的解析式为 y＝kx+b， 将 A（1，1），B（2，3）代入可得， ，解 ，
∴y＝2x﹣1，
当 x＝4 时，y＝7，
∴点 C 也在直线 AB 上，即 A、B、C 三点在一条直线上． 方法二：∵A（1，1），B（2，3），C（4，7），
∴AB＝＝，AC＝＝3，BC＝＝2，
∴AB+BC＝AC，
∴A、B、C 三点在一条直线上．
24．已知：如图，在▱ ABCD 中，G、H 分别是 AD、BC 的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E、F．
（1）求证：四边形 GEHF 是平行四边形；
（2）已知 AB＝5，AD＝8．求四边形 GEHF 是矩形时 BD 的长．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠GDE＝∠FBH，
∵G、H 分别是 AD、BC 的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，
∴在 Rt△AED 和 Rt△CFB 中AD＝GD，FH＝BC＝HB，
∴EG＝FH，∠GED＝∠GDE，∠FBH＝∠BFH，
∴∠GED＝∠BFH，
∴EG∥FH，
∴四边形 GEHF 是平行四边形；
（2）解：连接 GH，
当四边形 GEHF 是矩形时，∠EHF＝∠BFC＝90°，
∵∠FBH＝∠BFH，
∴△EFH∽△CBF，
∴＝，
由（1）可得：GA∥HB，GA＝HB，
∴四边形 GABH 是平行四边形，
∴GH＝AB＝5，
∵在矩形 GEHF 中，EF＝GH，且 AB＝5，AD＝8，
∴＝，
解得 ，