2021年秋期高中二年级期中质量评估-数学试题(含答案).docx

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2021 年秋期高中二年级期中质量评估
数学试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，非选择题答案使用 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5．保持卷面清洁，不折叠、不破损.
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 ，只有一项是符合题目要求的)
1、已知 a>b,则下列不等式①a2>b2,②1 € 1,③ 1 Σ 1,其中不成立的个数是
a b a-b a

2、在△ABC 中,已知 a=10,b=20,A=120°,则此三角形

3、《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题。《张丘建算经》卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布），
第一天织 5 尺布，现一月（按 30 天计）共织 390 尺布”，则从第 2 天起每天比前一天多织（ ） 尺布.
A. 16 B. 16 C.
8 D. 1
8
31 29
15 2
x－y－1≤0
8
4、若实数 x，y 满足约束条件 x＋3≥0
y－2≤0
，则 z＝2x－y 的最大值为
8
A．－8 B．－6 C．－2 D．4
5、数列{an}是由正项组成的等比数列，且 a7·a8＝4，则 log4a1＋log4a2＋…＋log4a14 等
于
A．5 B．6 C．7 D．8
6、设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若a＝cosB，则△ABC 的形状
b cosA
为
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
8
7、已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，下列选项中不可能是 Sn 的图像的是( )
6
8、不等式
1
x - 2
£ x - 2 的解集是
8
A.， B.，
8
C. D.
9、已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且 An
Bn

7n + 45
= ，则使得
n + 3
8
an 为整数的正整数 n 的个数是
bn
A．2 B．3 C．4 D．5 10、将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则数列{an}的前 n 项
和为
8
3n2
2n

n2 C.
3n2 - 2n n2
D.
2 2
y 2
8
11、已知 x，y，z∈(0，＋∞)，且满足 x－2y＋3z＝0，则
xz
的最小值为
8
A．3 B．6 C．9 D．12
12、己知数列{an}满足 ， ， ，则数列{an}的前 2020 项的和 S2020 等于
8
A． 2(31008 -1)
B． 2(31009 -1)
C． 2(31010 -1)
D． 2(32020 -1)
8
第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13、已知点 A(2a,1),B(-3,3- a)在直线 x+2ay-1=0 的两侧，则实数 a 的取值范围是 ．
14、如图，飞机的航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为 10000 m，速度为
8
50 m/ 15°，经过 420 s 后看山顶的俯角为 45°，则山顶的海拔高度为 m．（结果精确到 1m）(取 2＝， 3＝)
æ 1 a ö
15、已知不等式(x + y)ç + ÷ ³ 16，对任意正
x y
è ø
实数 x,y 恒成立，则正实数 a 的最小值为 ．
16、等比数列{an}的公比为 q，其前 n 项的积为
16
Tn，并且满足条件 a >1，a a
－1>0， a99 - 1 <0．给出下列结论：
8
1 99 100
a100 - 1
8
①0<q<1； ②a99a101－1<0；
③T100 的值是 Tn 中最大的； ④使 Tn>1 成立的最大自然数 n 等于 198．其中正确的结论是 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分 10 分）
在△ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，c = 3a sinC－c cosA.
（1）求角 A的大小；
（2）若 a=2， △ABC 的面积为 3，求b + c 的值.
8
18、（本小题满分 12 分） 已知 f (x) = x2 - ax - 2a（2

a Î R）
8
（1）若 f (x) > -9恒成立，求实数 a 的取值范围;
.
（2）解关于 x 的不等式 f (x) > 0
19、（本小题满分 12 分）
某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 万元，
年维修费第一年为 万元，以后逐年递增 万元。问这种汽车使用多少年，它的年平均费用最少？
8
20、（本小题满分 12 分）
已知数列{an}，{bn}(an≠0，n∈N*)满足 a1=1，b1=1，an bn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
（1）令 c n＝an，求证：数列{c n}为等差数列，并求{c n}的通项公式；
bn
（2）若 bn＝3n－1，求数列{an}的前 n 项和 Sn.
21、（本小题满分 12 分）
△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 a sin A + C = b sin A ．
2
（1）求 B；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且 c=1，求△ABC 面积的取值范围．
22
22、（本小题满分 12 分）

æ a +1 ö2
8
已知数列{an }的各项为正数，其前 n 项和 S 满足 Sn = ç n ÷ .
n è 2 ø
（1）求{an }的通项公式；
（2）设b = 1 ，求数列{b }的前 n 项的和T ；
n (a +1)(a +1) n n
n n+1
（3）在（2）的条件下，若 m - 2 < T < m 对一切 n Î N * 恒成立，求实数m 的取值范

4 n 5
围.
8
2020 年秋期高中二年级期中质量评估
数学参考答案
一、选择题 DABDCC DBDAAC
25
二、填空题
13、æ 1 ,1ö U (2，+ ¥)

14、 2650 15、9 16、①②④
8
ç ÷
è 4 ø
8
三、解答题
17、解：（1）由c =

3a sin C - c cos A 及正弦定理得：
8
3 sin Asin C - sin C cos A - sin C = 0 . ………………………………2 分
8
)
由于sin C ¹ 0, 所以sin( A - p
6
= 1
2 , ……………………………………5 分
8
.
又0 < A < p, 所以A = p
8
3
（2）△ABC 的面积S = 1 bc sin A =
2

3, 所以bc = 4

……………7 分
8
而由余弦定理得： a2 = b2 + c2 - 2bc cos A,故b2 + c2 = 8
解得： b + c =4 ………………………………10 分
18、解：（1）要使 f (x) > -9恒成立，只需△= a2 - 4(-2a + 9) < 0，……2 分解得：-2<a<2 ………………………4 分
所以 a 的取值范围为（-2,2） …………………………5 分
（2）原不等式可化为： (x - 2a)(x + a) > 0
当 a>0 时，解得：x<-a 或 x>2a
当 a=0 时，解得：x≠0
当 a<0 时，解得：x<2a 或 x>-a …………………………11 分综上所述：当 a>0 时，原不等式的解集为（-∞，-a）∪（2a，+∞）
当 a=0 时，原不等式的解集为（-∞，0）∪（0，+∞）
当 a<0 时，原不等式的解集为（-∞，2a）∪（-a，+∞） …………12 分
8
19、解：设使用 n 年平均费用最少，用 an 表示年维修费，
由于“年维修费第一年为 万元，以后逐年递增 万元”，可知：汽车年维修费构成以 a1=，公差 d= 的等差数列，
( + )n
34
所以使用 n 年的总的维修费用为
2
万元. ………3 分
8
8
设汽车的年平均费用为 y 万元，则有
10 + · n + ( + )n y = 2
10 · n
n 10
n

…………………………6 分
8
= 10 + n +
n
= 1+ 10 + n
n 10

³ 1+ 2

= 3 ………………………10 分
8
当且仅当10 = n
n 10

，即 n=10 时，y 取最小值. .…………………………11 分
8
答：汽车使用 10 年平均费用最少. ………………………………12 分
20、解：(1)∵anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，
an＋1 an
∴ － ＝2 …………………………3 分
bn＋1 bn
即 cn＋ 1－cn＝{cn}是以首项 c1＝1，公差 d＝2 的等差数列，
故 cn＝2n－1 .………………………………6 分
(2)由 bn＝3n－1 知 an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，
于是数列{an}前 n 项和 Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1，
3Sn＝1· 31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n， 两式相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n
＝－2－(2n－2)3n， .………………………………11 分所以 Sn＝(n－1)3n＋1 .………………………………12 分
21、解：（1）由题设及正弦定理得sin Asin A + C = sin B sin A．
2
因为sinA ¹ 0，所以sin A + C = sin B ． .……………………………2分
2
8
由 A + B + C = 180° ，可得sin A + C = cos B ，故cos B = 2sin B cos B ．
2 2 2 2 2
因为cos B ¹ 0，故sin B = 1 ，因此B=60°． ……………………6分
2 2 2
41
（2）由题设及（1）知△ABC的面积S
△ABC =
3 a ． ………………7分
4
8
c sin A
sin (120° - C ) 1
8
3
由正弦定理得a = = = + ．………………9 分
8
sin C
sin C
2 tan C 2
8
由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以
30°<C<90°，故 1 < a < 2 ，从而 3 < S < 3 ．
2 8 △ABC 2
因此，△ABC面积的取值范围是æ 3 , 3 ö．… ………………………12分
ç 8 2 ÷
è ø
æ a +1ö2
22、解：（1）当n = 1 时， a1 = S1 = ç 1 ÷ ， 解得a1 = 1.
è 2 ø
æ a +1ö2 æ a +1ö2
8
当n ³ 2 时， an = Sn - Sn-1 = ç n ÷
- ç n-1 ÷
8
è 2 ø è 2 ø
化简得an - an-1 = 2 ，所以an = 2n -1； ……………………………4 分
8
（2）由（1）知，
an = 2n -1.
8
则b =
1 = 1
= 1 æ 1 - 1 ö

8
n (a
n +1)(an +1 +1) 2n (2n + 2 )
4 ç n n +1 ÷
8
è ø
所以T = 1 æ1- 1 + 1 - 1 + L+ 1 - 1 ö
n 4 ç 2 2 3 n n +1 ÷
è ø
8
= 1 æ1-
1 ö = n


………………………………8 分
8
4 ç n +1 ÷ 4 (n +1)
1
è ø .
8
（3） Tn+1

- Tn
n +1
= 4 (n + 2) -
n
4 (n +1)
= 4(n +1)(n + 2)

> 0 ，
8
∴{T }单调递增，∴ T ³ T = 1 .
n n 1 8
56
∵ T =
n < 1 ，∴ 1 £ T

< 1 ，使得 m - 2 < T

< m 恒成立，
8
n 4(n +1) 4
ì1 £ m

8 n 4
4 n 5
8
只需ï 4 5
，解之得 5 £ m < 5 .
8
ï
í m - 2 1 4 2
<
îï 4 8
8
所以实数 m 的取值范围是é 5 , 5 ö


………………………………12 分
8
ø
êë 4 2 ÷
8