2021年高考数学(理)冲刺突破专题04-突破概率与统计解答题的瓶颈.docx

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突破概率与统计解答题的瓶颈
-------------------------------把握考点 明确方向-------------------------------
时间
2019
2018
2017
2016
2015
Ⅰ卷
随机变量的分布列，与等比数列结合讨论方案合
理性.
根据二项分布 求事件的概率， 随机变量的数
学期望及意义
对立事件的概 率，数学期望， 正态分布，独立
性检验
柱状图，随机变量的分布列，数学期望
散点图，回归方程
Ⅱ卷
随 机 变 量 的 概率，独立事件， 互斥事件的概率
回归直线方程
相互独立事件的概率，独立性检验，直方图，中
位数
随机事件的概率，条件概率，随机变量的分布列与数学期望
茎叶图，相互独立事件的概率
Ⅲ卷
频率分布直方图，平均数
茎叶图，独立性检验
随机变量的分布
列，数学期望，概率
线性回归方程，相关性检验
------------------------------- 导图助思 快速切入-------------------------------
[思维流程]——概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型
-------------------------------知识整合 易错题示-------------------------------

(1)项数为 n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.
(4)二项式的系数从 C0，C1，一直到 Cn－1，Cn.
n n n n

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 Cm＝Cn－m.
n n
n
(2)增减性与最大值：二项式系数 Ck，当
n＋1 n＋1
k< 时，二项式系数是递增的；当 k> 时，二项式系数是递减
23
2 2
的.
23
当 n 是偶数时，那么其展开式中间一项Tn
+1
2
的二项式系数最大.
4
当 n 是奇数时，那么其展开式中间两项Tn-1
+1
2
和Tn+1
+1
2
的二项式系数相等且最大.
23
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n， 即 C0＋C1＋C2＋…＋Ck＋…＋Cn＝2n.
n n n n n
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C1＋C3＋C5＋…＝C0＋C2＋C4
23
＋…＝2n－1.

(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.
n n n
n n n
23
(2)中位数：在样本数据中，将数据按从大到小(或从小到大)排列，，就取中间两个数据的平均数作为中位数.
(3)平均数：样本数据的算术平均数，
即 x ＝1(x1＋x2＋…＋xn).
n
(4)方差与标准差
方差：s2＝1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2].
n
s＝
1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2].
n
标准差：

(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(2)期望公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
(3)期望的性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②若 X～B(n，p)，则E(X)＝np；
③若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p. (4)方差公式
①D(aX＋b)＝a2D(X)；
23
②若 X～B(n，p)，则 D(X)＝np(1－p)；
③若 X 服从两点分布，则 D(X)＝p(1－p). (6)独立事件同时发生的概率计算公式P(AB)＝P(A)P(B).
(7)独立重复试验的概率计算公式
n
P(X＝k)＝Ckpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.

如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ2).
满足正态分布的三个基本概率的值是
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈ 7；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈ 5；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈ 3.

(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
(2)混合问题一般是先分类再分步.
(3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.
(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律. 、组合应用题，通常从三个途径考虑：
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.
、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排.(2)合理分类与准确分步.(3)排列、组合混合问题先选后排.(4)相邻问题捆绑处理.(5)不相邻问题插空处理.(6)定序问题排除法处理.(7)分排问题 直排处理.(8)“小集团”排列问题先整体后局部.(9)构造模型.(10)正难则反，等价条件.

(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.
项的系数与 a，b 有关，可正可负，二项式系数只与 n 有关，恒为正.
(2)运用通项求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出 k，再求所需的某项；有时需先求 n，计算时要注意 n 和 k 的取值范围及它们之间的大小关系.
9
(3) 赋 值 法 求 展 开 式 中 的 系 数 和 或 部 分 系 数 和 ， 常 赋 的 值 为 0，±1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待 a，b. ，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的 概率，再求和.
：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是 对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的 频率求错.
P(A|B)与 P(AB)的区别
(1)在 P(A|B)中，事件 A，B 发生有时间上的差异，B 先 A 后；在 P(AB)中，事件 A，B 同时发生.
(2)样本空间不同，在 P(A|B)中，事件 B 成为样本空间；在 P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有 P(A|B)≥P(AB). ，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误.
，要注意区分是二项分布还是超几何分布.
-------------------------------典例分析 能力提升------------------------------
典例
(本题满分 12 分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4
元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六
月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？
审题
路线
确定 X 的取值 → 计算与 X 值对应的概率 → 列出 X 的分布列 → 求出数学期望
标准答案
阅卷现场
(1)由题意知，X 所有可能取值为 200，300，500.① 由表格数据知辨表
P(X＝200)＝2＋16 ，P(X＝300)＝ ＝，
＝ 36
90 90
第(1)问
第(2)问
得
分点
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
1
3
2
1
1
1
1
2
6 分
6 分
10
P(X＝500)＝25＋7＋4＝.②
90
第(1)问踩点得分说明
因此 X 的分布列为
①正确写出 X 所有可能取值得 1 分；
②求出随机变量对应的概率值，每个 1
分；
③
③写出随机变量的分布列得 2 分.
(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500，
第(2)问踩点得分说明
至少为 200，因此只需考虑 200≤n≤500，当
④正确写出在 300≤n≤500 时的各关系
300≤n≤500 时，若最高气温不低于 25，则 Y＝6n
式得 1 分；
－4n＝2n，若最高气温位于区间[20，25)，则 Y＝
⑤正确写出在 300≤n≤500 时 E(Y)＝
6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；
640－ 得 1 分；
若最高气温低于 20，则 Y＝6×200＋2(n－200)－4n
⑥正确写出在 200≤n＜300 时的各关系
＝800－2n；④
式得 1 分；
因此 E(Y)＝2n×＋(1 200－2n)×＋(800－
⑦正确写出在 200≤n＜300 时 E(Y)＝
2n)×＝640－.
160＋ 得 1 分；
⑤
⑧得出 n＝300 时，Y 的数学期望达到最
当 200≤n<300 时，若最高气温不低于 20，则 Y＝
大值，并求出最大值得 2 分.
6n－4n＝2n；
若最高气温低于 20，则 Y＝6×200＋2(n－200)－4n
＝800－2n；⑥
因此 E(Y)＝2n×(＋)＋(800－2n)×＝160＋
，⑦
所以 n＝300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值
为 520 元．⑧
X
200
300
500
P



-------------------------------高考真题 把握规律-------------------------------
（1）求 P（X＝2）；
（2）求事件“X＝4 且甲获胜”的概率．
【解析】（1）设双方 10：10 平后的第 k 个球甲获胜为事件 Ak（k＝1，2，3，…），
11
则 P（X＝2）＝P（A1A2）+P（A1A2）
＝P（A1）P（A2）+P（A1）P（A2）
＝×+×＝．
（2）P（X＝4 且甲获胜）＝P（A1A2A3A4）+P（A1A2A3A4）
＝P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）+P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）
＝（×+×）××＝．
2
校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；
（2）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的
天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率．
2
【解析】（1）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为3，
2
故 X～B（3，3），
从而 P（X＝k）= Ck( 2 )k( 1 )3tk，k＝0，1，2，3．
3 3 3
所以，随机变量 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
1
2〮
2
9
4
9
8
2〮
3
随机变量 X 的期望 E（X）＝3× 2 =2．
2
（2）设乙同学上学期间的三天中 7：30 到校的天数为 Y，则 Y～B（3， ），
3
且 M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝
1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，
由（I）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1}+P{X＝2，Y＝0}
12
＝P（X＝3）P（Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0）= 8
× 2 + 4 × 1
= 20
23
2〮 9
9 2〮
243
23
23
情况如下：
（0，1000]
（1000，2000]
大于 2000
仅使用 A
18 人
9 人
3 人
仅使用 B
10 人
14 人
1 人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000
元的人数，求 X 的分布列和数学期望；
【解析】（Ⅰ）由题意得：
从全校所有学生中随机抽取的 100 人中，
A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，
仅使用 A 的有 30 人，仅使用 B 的有 25 人，
16
∴A，B 两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，
100
∴从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率 p= 40

=．
23
（Ⅱ）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000
元的人数，
则 X 的可能取值为 0，1，2，
样本仅使用 A 的学生有 30 人，其中支付金额在（0，1000]的有 18 人，超过 1000 元的有 12 人，
样本仅使用 B 的学生有 25 人，其中支付金额在（0，1000]的有 10 人，超过 1000 元的有 15 人，
P（X＝0）= 18 × 10 = 180 = 6 ，
30 2t 〮t0 2t
P（X＝1）= 18 × 1t + 12 × 10 = 390 = 13，
30 2t 30 2t 〮t0 2t
P（X＝2）= 12 × 1t = 180 = 6 ，
30 2t 〮t0 2t
∴X 的分布列为：
X
0
1
2
23
P
6
2t
13
2t
6
2t
19
数学期望 E（X）= 0 × 6 + 1 × 13 + 2 × 6
=1．
23
2t 2t 2t
（Ⅲ）不能认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化， 理由如下：
从样本仅使用 A 的学生有 30 人，其中 27 人月支付金额不大于 2000 元，有 3 人月支付金额大于 2000 元，

C
C3
随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元的概率为 p= 3 = 1 ，
23
1
虽然概率较小，但发生的可能性为 ．
3 4060
30
23
4060
故不能认为认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化．
验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为 p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f（p），求 f （p）的最大值点 p0．
（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 p0 作为 p 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX；
20
【解析】（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f（p），则 f（p）= C2 p2(1 t p)18 ，
∴ƒ䜸(p) = C2 [2p(1 t p)18 t 18p2(1 t p)1〮] = 2C2 p(1 t p)1〮(1 t 10p)，
20 20
令 f′（p）＝0，得 p＝，
当 p∈（0，）时，f′（p）＞0， 当 p∈（，1）时，f′（p）＜0，
∴f （p）的最大值点 p0＝．
（2）（i）由（1）知 p＝，
令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品数，依题意知 Y～B（180，），
X＝20×2+25Y，即 X＝40+25Y，
∴E（X）＝E（40+25Y）＝40+25E（Y）＝40+25×180×＝490．
23
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 400 元，
∵E（X）＝490＞400，
∴应该对余下的产品进行检验．
＝{（0，1）
，（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令 Mn＝An∪Bn∪∁n．从集合
Mn 中任取两个不同的点，用随机变量 X 表示它们之间的距离．
（1）当 n＝1 时，求 X 的概率分布；
（2）对给定的正整数 n（n≥3），求概率 P（X≤n）（用 n 表示）．
【解析】（1）当 n＝1 时，X 的所有可能取值为 1， 2，2， t，
24
X 的概率分布为 P（X＝1）= 〮 = 〮 ；P（X= 2）= 4
= 4 ；
23
C
C
2 1t
6
2 1t
6
23
P（X＝2）= 2 = 2 ；P（X= t）= 2
= 2 ；
23
C
C
2 1t
6
2 1t
6
23
（2）设 A（a，b）和 B（c，d）是从 Mn 中取出的两个点，
因为 P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑 X＞n 的情况，
①若 b＝d，则 AB≤n，不存在 X＞n 的取法；
(t t c)2 + 1
②若 b＝0，d＝1，则 AB= ≤ n2 + 1，所以 X＞n 当且仅当 AB= n2 + 1，
此时 a＝0．c＝n 或 a＝n，c＝0，有两种情况；
(t t c)2 + 4
③若 b＝0，d＝2，则 AB= ≤ n2 + 4，所以 X＞n 当且仅当 AB= n2 + 4，
此时 a＝0．c＝n 或 a＝n，c＝0，有两种情况；
(t t c)2 + 1
④若 b＝1，d＝2，则 AB= ≤ n2 + 1，所以 X＞n 当且仅当 AB= n2 + 1，
此时 a＝0．c＝n 或 a＝n，c＝0，有两种情况；
综上可得当 X＞n，X 的所有值是 n2 + 1或 n2 + 4，
且 P（X= n2 + 1）= 4 ，P（X= n2 + 4）= 2 ，
23
C
C
2
2n+4
2
2n+4
23
C2
可得 P（X≤n）＝1﹣P（X= n2 + 1）﹣P（X= n2 + 4）＝1t 6 ．
2n+4
（Ⅱ）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检
23
查．
（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；
（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概率．
【解析】（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16．人数比为：3：2：2， 从中抽取 7 人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3，2，2 人．
（Ⅱ）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查．
（i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，
C3
随机变量 X 的取值为：0，1，2，3，P(a = k) = 4 3 ，k＝0，1，2，3．
〮
所以随机变量的分布列为：
X
0
1
2
3
P
1
3t
12
3t
18
3t
4
3t
32
随机变量 X 的数学期望 E（X）= 0 × 1
+ 1 × 12 + 2 × 18 + 3 × 4
= 12；
23
3t 3t 3t 3t 〮
（ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，
设事件 B 为：抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人，事件 C 为抽取的 3 人中，
睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人，
〮
则：A＝B∪C，且 P（B）＝P（X＝2），P（C）＝P（X＝1），故 P（A）＝P（B∪C）＝P（X＝2）+P（X＝1）= 6．
6
所以事件 A 发生的概率： ．
〮
个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：
23