2021年高考数学(理)模拟试题.docx

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注意事项：

2019 年高考模拟试题（一）
理科数学
时间：120 分钟 分值：150 分
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 ，只有一
项是符合题目要求的.
í
>
丨
已知集合 A = {x Î R丨2 x < e}, B = ì x Î R 1
îx

ü, 则A I B = （ ）.
1ý
þ
2
{x Î R丨0 < x < log e}
2
{x Î R丨1 < x < log e}
B. {x Î R丨0 < x < 1}
2
{x Î R丨x < log e}
若复数 z 满足 z + i = z + i 其中 i 为虚数单位，则 z = （ ）.
i
5
10
A. 5 B. C. 10 D.
以下判断正确的是（ ）.
函数 y =
f (x) 为 R 上的可导函数，则 f (x0 ) = 0 是 x0 为函数 f (x) 极值点的充要条件.
B. 命题“存在 x Î R, x2 + x -1 < 0 ”的否定是“任意 x Î R, x2 + x -1 > 0 ”.
C. 命题“在△ABC 中，若 A > B ,则sin A > sin B ”的逆命题为假命题. D . “ b = 0”是“函数 f (x) = ax2 + bx + c 是偶函数”的充要条件.
如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是（ ）.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为 3 的倍数的槪率为（ ）.

1 1
A. B.
3 4
1 1
D.
5 6
设 △ABC 的三边长分别为 a、b、c ， △ABC 的面积为 S ， 内切圆半径为 r ， 则
r = 2S
a + b + c
， 类 比 这 个 结 论 可 知 ： 四 面 体 P - ABC

的 四 个 面 的 面 积 分 别 为
S1、S2、S3、S4 ，内切球的半径为 r ，四面体 P - ABC 的体积为V ，则 r =（ ）.
V
A.
S1 + S2 + S3 + S4
2V
B.
S1 + S2 + S3 + S4
3V
B.
S1 + S2 + S3 + S4
4V
D.
S1 + S2 + S3 + S4
x2
曲线C1 : y = 2 px(p > 0)的焦点 F 恰好是曲线C2 :
a2
y 2
b2
= 1(a > 0, b > 0)的右焦点，
且曲线C1 与曲线C1 交点连线过点 F ,则曲线的离心率是（ ）.
2
2 +1
6 + 2
A. -1 B. C.
2 2
+1
2
某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是（ ）.
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
9. 已知sina= 3sinæa+ pö，则 tanæa+ p ö =（ ）.
ç ÷
è 6 ø
ç ÷
è 12 ø
3
A. 2 - B.
2 + C.
2 - 4
D. 2 + 4
3
3
3
函数 f (x) = axm × (1- x)n 在区间[0,1]上的图像如图所示,则 m、n 的值可能是（ ）.
A. m = 1, n = 1
B. m = 2, n = 1
B. m = 1, n = 2
D. m = 3, n = 1
定义在 R 上的函数 f (x) 满足： f (x) + f ¢(x) > 0, f (0) = 4 则不等式 ex f (x) > ex + 3
（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）.
A. (0,+¥)
B. (- ¥,0)U (3,+¥)
C. (- ¥,0)U (0,+¥)
D. (3,+¥)

已知数列 {a }的通项公式为 a = -n + t ， 数列 {b }的通项公式为 b
= 3n-3 ， 设
n n n n
c = an + bn +
n 2
，在数列{cn }中， cn
an - bn
2
³ c (c Î N * )，则实数t 的取值范围为（ ）.
3
A. [3,4)
B. [3,6]
C. [4,6]
D. æ 7 ，7ù
ç 3 úû
è
第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）．
ï
ìln x, x > 0
=

( ( )) =
î
ò
设 f (x)
íïa +
x (1- cos t )dt, x £ 0 , f f x
0
2 ，则 a 的值是 .
甲、乙、丙、丁、戊五名新同学分配到 A、B、C、D 四个班中，每班至少一人，其中甲和乙都不去 A 班，则共有 种分配方案.
在 △ABC 中， 已知 AB = 1, AC = 2, ÐA = 60。， 若点 P 满足 AP = AB + lAC ， 且

BC × CP = 1，则实数l的值为 .

[ ) ìx2 , x Î D
设 f (x) 是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 0,1 上， f (x) = í
îx, x Ï D
合 D = ìx丨x = n -1 , n Î N * ü ，则方程 f (x) - lg x = 0 的解的个数是 .

，其中集
î
þ
í n, ý
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（本小题满分 12 分）
如图， △ABC 中， sin 1 ÐABC =
2
， AB = 2 ，点 D 在线
3
3
4 3
段 AC 上，且 AD = 2DC, BD = .
3
（Ⅰ）求 BC 的长;
（Ⅱ）求△DBC 的面积．

（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P - ABCD 中，已知 PA ^ 平面 ABCD ，且四边形 ABCD 为直角梯形，
ÐABC = ÐBAD = p, PA = AD = 2, AB = BC = 1
2
（Ⅰ）求平面 PAB 与平面 PCD所成二面角的余弦值；
（Ⅱ）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长求证： A1O / / 平面 AB1C .
（本小题满分 12 分）
为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从 A 区某学校推荐的 10 名教师中任选 3 人去参加支教活动。这 10 名教师中，语文教师 3 人，数学教师 4 人，英语教师 3 :
（Ⅰ）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率;
（Ⅱ）选出的 3 人中，语文教师人数 X 的分布列和数学期望.
（本小题满分 12 分）
2
如图，已知椭圆C : x
a2
y 2
b2
= 1，(a > b > 0)的左、右焦点为 F1、F2 ，其上顶点为 A .已知
△F1 AF2 是边长为2 的正三角形.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ）过点Q(-4,0)任作一动直线l 交椭圆C 于M, N两点，记 MQ = l× MN 上
取一点 R, 使得 MR = -l× RN ，试判断当直线l 运动时，点 R 是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线的方程；若不在，请说明理由.

（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) = x ln x + a ,
（Ⅰ）若对定义域内任意 x，f (x) > 0 成立，求实数 a 的取值范围;
（Ⅱ）若0 < x1 < x2
，求证: 对"x Î (x1 , x2
)，不等式
f (x) - f (x1 ) <
x - x1
f (x) - f (x2 ) ,
x - x2
恒成立.
（ 二） 选考题（ 共 10 分． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答． 如果多做， 则按所做第一题计分）
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
í y = t +1
在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为ìx = 2 + t （ t 为参数），曲线 P 在以该直角坐
î
标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为r2 - 4rcosq+ 3 = 0．
（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程;
（Ⅱ）设曲线C 和曲线 P 的交点为 A、B ，求 AB ．
23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) = x -1 + x - a
（Ⅰ）若 a = -1,求解不等式 f (x) ³ 3的解集;
（Ⅱ）如果"x Î R, f (x) ³ 2 ，求 a 的取值范围.

参考答案
1. B【解析】因为集合
2
A={x Î R| 2x < e}={x Î R| x<log e}, B = {x Î R|

1 > 1} = {x Î R| 0<x<1}，
x
所以 A I B = {x Î R | 0 < x < 1}.
2. D【解析】z + i = 2 + i Þ 2 + i - i = - i(2 + i) - i = 1- 2i - i = 1- 3i
i i - i2 ，
12 + (- 3)2
则 z = = 10, 故选D.
0 0
D【解析】 A .函数 y = f (x) 为 R 上的可导函数，则 f ' (x ) = 0 是 x 为函数 f (x) 极值点的充要条件，错误，导数为零的点不一定为极值点；
B ．命题“ 存在x Î R, x2 + x -1 < 0 ”的否定是“ 任意x Î R, x2 + x -1 ³ 0 ”；
C .命题“在 DABC 中，若 A > B,则sin A > sin B ”的逆命题为真命题；
D . “ b = 0”是“函数 f (x) = ax2 + bx + c 是偶函数”的充要条件， D.
C【解析】输入 I = 1, S = 1;
I = 1 < 6,继续输入, I = 1+ 2 = 3, S = 2 ´1 = 2; I = 3 < 6,继续输入, I = 3 + 2 = 5, S = 2 ´ 2 = 4; I = 5 < 6,继续输入, I = 5 + 2 = 7, S = 2 ´ 4 = 8; I = 7 > 6,结束循环, 输出S =
A【解析】从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数

n = C 2 = 6
4
这两个数的和为 3 的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共 2 个，
∴这两个数的和为 3 的倍数的槪率 P =
2 = 1
6 3

.故选 A.
C【解析】由类比推理可得：r＝ 3V
S1＋S2＋S3＋S4
D【解析】易知： c = 1 p ， 2a =
2
p - p ，所以e = c = + 1
2
a
900 × x x
600
D【解析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和
× 6 × 4x ³ 4 ´ 2 ×
x
= 240
（万元）．当且仅当 x=30 时取等号．故选 D.
C【解析】sina= 3sinæa+ pö = 3sinacos p+ 3cosasin p = 3


sina+ 3 cosa,
ç ÷
è 6 ø 6
6 2 2

p p p
tan p- tan p
则 tana=
3 ，又 tan
= tanæ -
ö = 3 4 =
= 2 - ，
3
3
2 - 3
ç
12 è 3
÷
ø 1+ tan
ptan p
3 4
3 -1
3 +1
tana+ tan p
 3 + 2 -
3
则tanæa+ p ö =

12 =

2 - 3 3
ç ÷
è 12 ø

1- tan
atan p
1+ 3 (2 - )
3
=
3 + (2 - 3 ) (2 - 3 3 )

12
= - 16 -
2 - 3 3
8 3
3
= 2 - 4
(2 - 3 3 )- 3(2 - 3 ) 4
故选 C.
【 解 析 】 代 入 验 证 , 当

m = 1, n = 2 ,

f (x) = axg(1- x)2 = n(x 3 - 2x 2 + x) , 则
f ¢(x) = a(3x 2 - 4x +1) ,由 f ¢(x) = a(3x 2 - 4x +1) = 0 可知, x = 1 , x


= 1,结合图像可知函
1 3 2
数应在æ 0, 1 ö 递增,在æ 1 ,1ö 递减,即在 x = 1 取得最大值,由 1 = a ´ 1 g(1- 1) 2 = 1 ,知 a
ç 3 ÷ ç 3 ÷ 3
f ( 3)
3 3 2
è ø è ø
B.
A【解析】令 F (x) = ex f (x) - ex - 3, 则F ¢(x) = ex f (x) + ex f ¢(x) - ex
x x
= ex ( f (x) + f ¢(x) -1) > 0 ， 所以函数 F (x) = e f (x) - e - 3 在 R 上单调递增， 又
F (0) = 0

， 所 以
F (x) = ex f (x) - ex - 3
>0 的 解 集 为 (0, +¥ )

， 即 不 等 式
,
ex f (x) > ex + 3 （其中e 为自然对数的底数）的解集为(0, +¥) 故选 A.
B【解析】由题可得c
= ìan , an ³ bn ， a
= -n + t ，故{a }为递减数列； b

= 3n-3 ，故
í
n
îbn , an < bn
n
n
n
{bn }为递增数列；因为cn ³ c3 ，故{cn }当 n = 1或 2 时递减，cn = an ；当n > 3时递增，cn = bn
因此，当 n = 1或 2 时，- n + t ³ 3n-3 恒成立，当 n = 2 时，由- 2 + t ³ 32-3 得t ³ 7 ；当 n > 3
3
时， - n + t £ 3n-3 恒成立，当 n = 4 时，由- 4 + t £ 34-3 得t £ 7 ；
①若 a ³ b ，则 - 3 + t ³ 30 = 1，则 t ³ 4，c = a = -3 + t, c £ c ，故 - 3 + t £ 34-3 ，故
n n 3 3 3 4
t £ 6 ，即 4 £ t £ 6 ；
②若 a < b ，则- 3 + t < 30 = 1，则t < 4, c = b = b3-3 = 1, c £ c
= -2 + t ，得t ³ 3 ，即
3 3 3 3 3 2

3 £ t < 4.
综上，取①和②的并集，得3 £ t £ 6 .故选 B.
2【解析】 a + x (1- cos t )dt = a + x - sin x ，所以 f (x) = ìln x x > 0

，因为
î
ò 0
f ( f (x)) = 2 ，代入计算得 a = 2 .
ía + x - sin x, x £ 0
126【解析】由题意，甲、乙、丙、丁、戊五名新同学分配到 A、B、C、D 四个班中，
每班至少一人， 共有 C 2 A4 = 240 种；其中甲和乙有 1 人去 A 班，若 A 班两人， 共有
5 4
C1C1 A3 = 36 种；若 A 班 1 人，共有2C 2 A3 = 72 种；甲和乙都去 A 班有 A3 = 6种；所以，
2 3 3 4 3 3
每班至少一人，其中甲和乙都不去 A 班，共有 240 - 36 - 72 - 6 = 126 种.
1 或1【解析】△ABC中，AB = 1, AC = 2, ÐA = 60。，点P满足AP = AB + lAC ，
4

\ AP - AB = lAC，即BP = lAC;
又CP = AP - AC = (AB + lAC )- AC = AB + (l-1)AC,
\ BP × CP = lAC × [AB + (l-1)AC ]= lAC × AB + l(l-1)AC 2 = l× 2 ×1× cos 60。+ l× (l-1)× 22 = 1
整理的4l2 - 3l-1 = 0 Þ l= - 1 或l= 1，
4
\实数l的值为- 1 或1.
4

ìx2 , x Î D
16. 8【解析】∵在区间[0,1）上， f (x) = í
îx, x Ï D
理数，又 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，
ì(x -1)2 , x Î D
，第一段函数上的点的横纵坐标均为有
∴在区间[1,2）上， f (x) = í
îx -1, x Ï D
，此时 f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；
同理：
区间[2,3）上，f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点； 区间[3,4）上，f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点； 区间[4,5）上，f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点； 区间[5,6）上，f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点； 区间[6,7）上，f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点； 区间[7,8）上，f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；

区间[8,9）上，f（x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点； 在区间[9,+∞）上，f（x）的图象与 y=lgx 无交点；
故 f（x）的图象与 y=lgx 有 8 个交点；即方程 f (x) - lg x = 0 的解的个数是 8，
：（Ⅰ）因为 sin1∠ABC＝ 3，所以 cos∠ABC＝1－2×1＝1.
2 3 3 3
△ABC 中，设 BC＝a，AC＝3b，则由余弦定理可得 9b2＝a2＋4－4a①. ……………3 分
3
4b2＋16－4
在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得 cos∠ADB＝ 3 ，
16 3b
3
b2＋16－a2
cos∠BDC＝ 3 .因为 cos∠ADB＝－cos∠BDC， 8 3b
3
4b2＋16－4 b2＋16－a2
16 3b
8 3
所以有 3 ＝－ 3 ，所以 3b2－a2＝－6，② .......................7 分
b
3 3
由①②可得 a＝3，b＝1，即 BC＝3. .........................................9 分
（Ⅱ）由(1)得△ABC 的面积为1 2 2＝2 2，所以△DBC 的面积为2 2
.....12 分
×2×3× .
2 3 3

解：