2021深圳中考23题及拓展.docx

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【考点】抛物线，面积存在性，角度存在性
【例题】2017 深圳中考 23 题
如图，抛物线 y=ax2+bx+2经过点 A(-1,0),B(4,0),交 y 轴于点 C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
3
（2）点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D 使S△ABC=2S△ABD?若存在请直接给出点
D 坐标；若不存在请说明理由；
【拓展】点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D 使 S△OBC=S△DBC，若存在请求出 D 点横坐标
y
C
A
O
B
x
（3）将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转 45°,与抛物线交于另一点 E，求 BE 的长．
y
C
A
O
B
x
【拓展】
（4）在抛物线上是否存在一点 P，使 tan∠PCB= 1 ，若存在请求出 P 点横坐标，若不存在，请说明
4
理由
C
P
A
O
B
y y
C
A
O
B
x x
（5）若点 D 是 x 轴上任意一点，连接 CD，当 tan∠BCD= 1 时，请直接写出 D 点坐标
3
y
C
A
O
D
B
x
（6）如图，在（3）的条件下，直线 BC 上有一点 Q，若∠AQB=∠CBE,求△ABQ 的面积
y
Q
C
A
O
B
x
（7）P 抛物线第一象限上一动点，作 PD 垂直 BC，连接 PD，当△PCD 中有某个角的度数等于
∠ACO 的 2 倍时，求 P 点横坐标
y
C
P
D
A
O
B
x
（8）对称轴上有一点 Q，当∠BQC=135°时，求 Q 点坐标
y
C
A
O
B
y
C
A
O
B
x x
【解析】

（1） 由题意得 解得

所以 ．
（2） ， ， ．
【解析】依题意知： ， ．
所以 ．
因为 ，
所以 ．
设 ，
因为 ，
所以 ，
2
2
解得 或 或 （舍去）或 ． 所以 ， ， ．
【拓展】 D点横坐标为2
+ 2 或 2（ -2
2 舍掉了）
（3） 过 点作 ，交 于点 ，过点 点作 轴的垂线交 轴于点 ．
因 为 ， ， 所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，即 ，
因为
所以 ，
所以 ， ， 所以 ，
因为 ， ，设直线 ，
所以
所以直线 ，
联立

解得 ， （舍去），故 ．
所以 ．
（4）情况一：直线 CD 解析式为：y=－ 9 x
2

+2，
y
C
2
A O 4

P D
1
B 1 x
2

9
( 2 ,1)
联立解析式得：－ 2 x +2=－ 1 x2 + 3 x + 2 ，解得 x= 31
9 2 2 9
情况二：作 D 点关于 B 点的对称点 D’，通过中点坐标公式可得出 D’坐标æ 7 ，-1ö ，进一步得出 CD’解析式为
ç 2 ÷
è ø
y= - 6 x + 2 联立解析式得－ 1 x2 + 3 x + 2= - 6 x + 2 解得 x = 33
7 2 2 7 7
y
C
P
A O B
D'

D ( 2 ,1)
9
x
P'

综上 P 点横坐标为

31 33
或
9 7
（5）2 种情况，如下
y
C

情况一

设 DE 为 x BC= BE+CE
5
\5x=2
BD= 5x=2
3x E \D(2,0)
x 2x
x
A O D 5x B
情况二 设DE为x
y
DE 1
tanÐDCE= = ÞCE=3x
C
x
A O
B
2x
D
x
CE 3
1
tanÐDBE=2ÞBE=2x
BD= 5x=5ÞD（9,0）
x
E
（6）先作平行线求 Q1(-2,3)，再求对称点 Q2(2,1)，△ABQ 的面积的面积为 或
y
Q1
C
Q2
A
O
B
x
（7）连接 AC，易知∠ACB=90°，取 AB 中点 D，连接 CD，则 CD=BD，∠1=2∠CBA=2∠ACO
tan∠CDO= CO = 4
DO 3
y
P
C
2
D
1
A
O
3
2
D
5
2
B
x
分类讨论：
4
① 当 tan∠PCD=
3

时，构造 k 型图，这里提供 2 种 k 型图构造方法
E 20 16
( , )
1
y y=2x+2
P
C
D
2
3 3 y
C
16
3m
3 6m
x

D 4m
1
P (10m，5m+2)Þy=2x+2
8m
x
A O 4 B 8 A O B
3
解得 P 点坐标为（2,3）
4
② 当 tan∠CPD=
3
y
时，此时 tan∠PCD=
3
4
y= 2 x+2 E
11

11
( 2 ,3)
P
C
3
2 D
x
A O 4 B 3
2
y
C
4m
8m D

2
P (11m，2m+2)Þy=11x+2
6m
3m
A O B x
解得 P 点坐标为（
29 300
， ），
11 121
综上 P 点坐标为（ 2,3）或（
29 300
， ）.
11 121
（8）定边定角构造圆
y
G (3，3)
C
A
O
Q
B
x
y
C
Q
A
O
B
G
(1,-1)
x