2021立体几何大题必刷热点题型—MST.docx

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1．（2020•浦东新区二模）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2 的正方形 ABCD（及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转 120°得到的．
（1）求此几何体的体积；
（2）设 PPP 是弧Eˆu上的一点，且 BP⊥BE，求异面直线 FP 与 CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）．
2．（2020•金ft区二模）已知四棱锥 P﹣ABCD，PA⊥底面 ABCD，PA＝1，底面 ABCD 是正方形，E 是 PD
n
的中点，PD 与底面 ABCD 所成角的大小为6．
（1）求四棱锥 P﹣ABCD 的体积；
（2）求异面直线 AE 与 PC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
3．（2020•四川模拟）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，△PAD 是边长为
2 的正三角形，Pu h 1t，E 为线段 AD 的中点．
（1）求证：平面 PBC⊥平面 PBE；
‹ ‹ 3
（2）是否存在满足PF h hFu(h＞tt的点 F，使得VBtPAE h 4 VDtPFB？若存在，求出h的值；若不存在，
请说明理由．
4．（2020•丹东模拟）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，点 E 在 PD 上．
（1）若 E 为 PD 的中点，证明：PB∥平面 AEC；
（2）若 PA＝1，PD═2，ABh 3，三棱锥 E﹣ACD 的体积为 3，求二面角 D﹣AE﹣C 的正弦值．
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5．（2020•如皋市校级模拟）如图 1，已知正方形铁片 A'B'C'D'边长为 2a 米，四边中点分别为 E，F，G，H，沿着虚线剪去大正方形的四个角，剩余为四个全等的等腰三角形和一个正方形 ABCD（两个正方形中心重合且四边相互平行），沿正方形 ABCD 的四边折起，使 E，F，G，H 四点重合，记为 P 点，如图 2，恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），PO⊥底面 ABCD，O 为正四棱锥底面中心，设正方形 ABCD的边长为 2x 米．
（1）若正四棱锥的棱长都相等，求所围成的正四棱锥的全面积 S；
（2）请写出正四棱锥的体积 V 关于 x 的函数，并求 V 的最大值．
6．（2020•镇海区校级模拟）如图，已知多面体 EF﹣ABCD，其底面 ABCD 为矩形，四边形 BDEF 为平行四边形，平面 FBC⊥平面 ABCD，FB＝FC＝BC＝2，AB＝3，G 是 CF 的中点．
（Ⅰ）证明：BG∥平面 AEF；
（Ⅱ）求直线 AE 与平面 BDEF 所成角的余弦值．
7．（2020•福建二模）如图，三棱台 ABC﹣A1B1C1 中，AA1＝AB＝CC1，∠AA1C＝∠ABC＝90°．
（1）证明：AC⊥A1B；
（2）若 AB＝2，A1Bh 6，∠ACB＝30°，求二面角 A﹣CC1﹣B 的余弦值．
8．（2020•茂名二模）如图，已知△ABC 内接于圆 O，AB 是圆 O 的直径，四边形 DBCE 为平行四边形，F是 CD 的中点，
（1）证明：OF∥平面 ADE；
（2）若四边形 DBCE 为矩形，且四边形 DBCE 所在的平面与圆 O 所在的平面互相垂直，AB＝2AC＝2，
AE 与圆 O 所在的平面的线面角为 60°．求二面角 D﹣AE﹣B 的平面角的余弦值．
9．（2020•湖北模拟）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA⊥平面 ABCD，过 AD 的平面与 PC，PB 分别交于点 M，N，连接 MN．
（1）证明：BC∥MN；
（2）若 PA＝AD＝AB＝2BC＝2，平面 ADMN⊥平面 PBC，求二面角 P﹣BM﹣D 的正弦值．
10．（2020•宣城二模）如图所示多面体中，AD⊥平面 PDC，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E，F 分别为
AD，BP 的中点，AD＝3，AP＝3 2，PCh 19．
（1）求证：EF∥平面 PDC；
（2）若∠CDP＝120°，求二面角 E﹣CP﹣D 的平面角的余弦值．
11．（2020•滨海新区模拟）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD
＝AP＝4，AB＝BC＝2，M，N 分别为线段 PC，AD 上的点（不在端点）．
4
（Ⅰ）当 M 为 PC 中点时，ANh 1AD，求证：MN∥面 PBA；
（Ⅱ）当 M 为中点且 N 为 AD 中点时，求证：平面 MBN⊥平面 ABCD；
2 5
（Ⅲ）当 N 为 AD 中点时，是否存在 M，使得直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 5 ，若存在，求
出 MC 的长，若不存在，说明理由．
12．（2020•道里区校级一模）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°， PA＝AB＝BCh 3，点 M 是 AC 与 BD 的交点．
（1）求二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值；
（2）若点 N 在线段 PB 上且 MN∥平面 PDC，求直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值．
13．（2020•河东区一模）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，正方形 ABCD 边长为 2，E 是 PA的中点．
（1）求证：PC∥平面 BDE；
（2）求证：直线 BE 与平面 PCD 所成角的正弦值为

1t
1t
，求 PA 的长度；
（3）若 PA＝2，线段 PC 上是否存在一点 F，使 AF⊥平面 BDE，若存在，求 PF 的长度，若不存在，请说明理由．
14．（2020•河北区一模）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为平行四边形，AB
⊥AC，且 PA＝AB＝3，AC＝2，E 是棱 PD 的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面 AEC；
（Ⅱ）求直线 PC 与平面 AEC 所成角的正弦值；
1t
（Ⅲ）在线段 PB 上（不含端点）是否存在一点 M，使得二面角 M﹣AC﹣E 的余弦值为 1t ？若存在， 确定 M 的位置；若不存在，说明理由．
15．（2020 春•和平区期中）如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点 E，M，N 分别是线段 BC，AE，CD1 的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面 ADD1A1；
2 21
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（Ⅱ）在线段 A1D1 上有一点 P，若二面角 P﹣AE﹣D 的余弦值为 ，求点 D1 到平面 PAE 的距离．
16．（2020 春•静海区校级期中）如图所示，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，四边形 EDCF 为矩形，DE＝2，平面 EDCF⊥平面 ABCD．
（1）求证：DF∥平面 ABE；
（2）求二面角 B﹣EF﹣D 的正弦值；
6
（3）在线段 BE 上是否存在点 P，使得直线 AP 与平面 BEF 所成角的正弦值为 6 ，若存在，求出线段
BP 的长，若不存在，请说明理由．
17．（2020•常熟市模拟）把一块边长为 a（a＞0）cm 的正六边形铁皮，沿图中的虚线（虛线与正六边形的对应边垂直）剪去六个全等的四边形（阴影部分），折起六个矩形焊接制成一个正六棱柱形的无盖容器（焊接损耗忽略），设容器的底面边长为 xcm．
（1）若 a＝16，且该容器的表面积为 6t 3cm2 时，在该容器内注入水，水深为 5cm，若将一根长度为
10cm 的玻璃棒（粗细忽略）放入容器内，一端置于 A 处，另一端置于侧棱 DD1 上，忽略铁皮厚度，求玻璃棒浸入水中部分的长度；
（2）求该容器的底面边长 a 的范围，使得该容器的体积始终不大于 9000cm3．
18．（2020•娄底模拟）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PAC⊥平面 ABCD，PA＝PC，AB∥CD，AB⊥AD，且 CD＝2AD＝4AB＝4．
（1）过 BD 作截面与线段 PC 交于点 H，使得 AP∥平面 BDH，试确定点 H 的位置，并给出证明；
n
（2）在（1）的条件下，若二面角 H﹣BD﹣C 的大小为4，试求直线 DA 与平面 BDH 所成角的正弦值．
19．（2020•通州区一模）如图，已知四边形 ABCD 为菱形，且∠A＝60°，取 AD 中点为 E．现将四边形 EBCD
沿 BE 折起至 EBHG，使得∠AEG＝90°．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面 EBHG；
（Ⅱ）求二面角 A﹣GH﹣B 的余弦值；
‹ ‹
（Ⅲ）若点 F 满足AF h hAB，当 EF∥平面 AGH 时，求h的值．
20．（2020•青岛模拟）如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面 ABCD 和侧面 BCC1B1 都是矩形，E 是 CD
的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．
（1）求证：平面 CC1D1D⊥底面 ABCD；
n
（2）若平面 BCC1B1 与平面 BED1 所成的锐二面角的大小为3，求直线 CA1 和平面 BCC1B1 所成角的正弦
值．