2022-2022学年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末质量检测二含解析新人教A版选修2-1.doc

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一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)
1．椭圆＋＝1的焦距为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．9
2．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A．x＝ B．y＝－
C．x＝－1 D．y＝－1
3．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长是实轴长的2倍，那么该双曲线的一条渐近线方程为(　　)
A．y＝x B．y＝4x
C．y＝x D．y＝2x
4．F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，点M在C的右支上，坐标原点为O，假设|FM|＝2|OF|，且∠OFM＝120°，那么C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
5．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，那么双曲线方程为(　　)
A．x2－y2＝1 B．x2－y2＝2
C．x2－y2＝ D．x2－y2＝
6．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，那么椭圆的离心率是(　　)
A.－1 B．2－
C.－1 D．2－
7．假设抛物线x2＝2py的焦点与椭圆＋＝1的下焦点重合，那么p的值为(　　)
A．4 B．2
C．－4 D．－2
8．直线l过点(0，－1)，椭圆C：＋＝1，那么直线l与椭圆C的交点个数为(　　)
A．1 B．1或2
C．2 D．0
9．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，假设|AB|＝4，那么这样的直线l有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
10．F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，那么△AF1F2的面积为(　　)
A．7 B.
C. D.
11．在椭圆＋y2＝1上有两个动点P，Q，E(1,0)为定点，EP⊥EQ，那么·的最小值为(　　)
A．4 B．3－
C. D．1
12．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，那么此双曲线的离心率e的最大值为(　　)
A. B.
C．2 D.
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13．椭圆的标准方程为＋＝1(m＞0)，并且焦距为6，那么实数m的值为________．
14．过直线y＝2与抛物线x2＝8y的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．
15．以原点O为中心，F(，0)为右焦点的双曲线C的离心率e＝，那么双曲线C的标准方程为____________，渐近线方程为____________．
16．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，假设|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，那么C的离心率为________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答题时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)求与椭圆＋＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．
18．(12分)抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P(m,1)到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程．
19．(12分)椭圆＋＝1及直线l：y＝x＋m，
(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．
20．(12分)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线的方程；
(2)假设P为这两曲线的一个交点，求cos ∠F1PF2的值．
21．(12分)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点P1，，离心率e＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点E(0，－2)的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，求△OPQ的面积的最大值．
22．(12分)F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上的一点，且满足·
＝1，过点P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点．
(1)求点P的坐标；
(2)求证：直线AB的斜率为定值．
章末质量检测(二)
1．解析：因为椭圆的方程为x225＋y216＝1，所以a2＝25，b2＝16，因此c2＝a2－b2＝9，所以c＝3，所以焦距为2c＝6.
答案：C
2．解析：由题得x2＝4y，所以2p＝4，即p＝2，故准线方程为y＝－p2＝－1.
答案：D
3．解析：根据题意，有b＝2a，那么ba＝2，故其中一条渐近线方程为y＝2x.
答案：D
4．解析：设双曲线的左焦点为F1，由题意可得|MF|＝|F1F|＝2c，∠MFF1＝120°，
即有|MF1|2＝|MF|2＋|F1F|2－2|MF|•|F1F|cos∠MFF1＝4c2＋4c2－2•4c2•－12＝12c2，
即有|MF1|＝23c，由双曲线的定义可得|MF1|－|MF|＝2a，即为23c－2c＝2a，
即有c＝3＋12a，可得e＝ca＝3＋12.
答案：D
5．解析：设双曲线方程为x2a2－y2a2＝1(a＞0)，那么c＝2a，渐近线方程为y＝±x，∴|2a|2＝2，∴a2＝2.∴双曲线方程为x2－y2＝2.
答案：B
6．解析：
如图，设F(c,0)，由△OAF是等边三角形，得Ac2，3c2，因为点A在椭圆上，所以有c24a2＋3c24b2＝1　①，在椭圆中有a2＝b2＋c2　②，联立①②，得c2＝(4－23)a2，即c＝(3－1)a，那么其离心率e＝ca＝3－.
答案：A
7．解析：椭圆x23＋y24＝1的下焦点为(0，－1)，∴p2＝－1，∴p＝－2.
答案：D
8．解析：由点(0，－1)在椭圆C：x225＋y236＝1的内部，可得直线与椭圆相交，故交点个数为2.
答案：C
9．解析：当直线l交双曲线于左、右两支时，因为2a＝2，|AB|＝4，故可有两条，假设直线l交双曲线的一支于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，|AB|＝4，故只有一条，所以满足条件的直线有3条．
答案：C
10．解析：|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6，∴|AF2|＝6－|AF1|，结合余弦定理得|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|•|F1F2|•cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8＝(6－|AF1|)2，∴|AF1|＝△AF1F2＝12×72×22×22＝72.
答案：B
11．解析：由题意得EP→•QP→＝EP→•(EP→－EQ→)＝EP→2－EP→•EQ→＝EP→(x，y)，那么EP→＝(x－1，y)，∴EP→2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋1－x24＝34x－432＋23，又－2≤x≤2，∴当x＝43时，EP→2取得最小值23.
答案：C
12．解析：设P(xP，yP)，那么双曲线的焦半径|PF1|＝exP＋a，|PF2|＝exP－a，由|PF1|＝4|PF2|可得exP＋a＝4(exP－a)，即3exP＝5a，所以xP＝，那么xP＝5a3e≥a，从而e≤53，即此双曲线的离心率e的最大值为53.
答案：B
13．解析：∵2c＝6，∴c＝3.
当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝34.
综上可知，实数m的值为4或34.
答案：4或34
14．解析：依题意，抛物线x2＝8y的焦点(0,2)即为圆心，准线y＝－2与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，所以半径为2－(－2)＝4，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝16.
答案：x2＋(y－2)2＝16
15．解析：设双曲线C的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，那么由题意知c＝5，又e＝ca＝52，因此a＝2，b＝c2－a2＝－y2＝1，双曲线C的渐近线方程为y＝±12x，即x－2y＝0和x＋2y＝0.
答案：x24－y2＝1　x－2y＝0和x＋2y＝0
16．解析：不妨设|PF1|＞|PF2|，那么|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，那么在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2(4a)(2c)cos 30°，整理得(e－3)2＝0，所以e＝3.
答案：3
17．解析：椭圆x2144＋y2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y轴上，于是设双曲线方程是y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．
又因为双曲线过点(0,2)，
所以c＝5，a＝2.
所以b2＝c2－a2＝25－4＝21.
所以双曲线的标准方程是y24－x221＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e＝ca＝52，渐近线方程是y＝±22121x.
18．解析：因为P(m,1)在抛物线上，可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，
由抛物线的定义可知，P(m,1)到准线y＝－p2的距离为4，
所以－p2＝－3，
解得p＝6，
所以抛物线的标准方程为x2＝12y.
19．解析：(1)由y＝32x＋m，x24＋y29＝1，消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①
Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．
因为直线l与椭圆有公共点，
所以Δ≥0，据此可解得－32≤m≤32.
故所求实数m的取值范围为[－32，32]．
(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由①得：x1＋x2＝－6m9，x1x2＝2m2－189，
故|AB|＝1＋k2•(x1＋x2)2－4x1x2
＝1＋322•－6m92－4×2m2－189
＝133•－m2＋18，
当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为26.
20．解析：(1)由题意知，半焦距c＝13，设椭圆长半轴为a，那么双曲线实半轴为a－4，离心率之比为37＝13a13a－4，
所以a＝7，所以椭圆的短半轴等于49－13＝6，
双曲线虚半轴的长为13－9＝2，
所以椭圆和双曲线的方程分别为：x249＋y236＝1和x29－y24＝1.
(2)由椭圆的定义得：|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，由双曲线的定义得：|PF1|－|PF2|＝±6，所以|PF1|与|PF2|中，一个是10，另一个是4，不妨令|PF1|＝10，|PF2|＝4，
又|F1F2|＝213，在△F1PF2中，利用余弦定理得：
(213)2＝100＋16－80cos ∠F1PF2，
所以cos ∠F1PF2＝45.
21．解析：(1)由e＝ca＝32得3c＝2a，
设a＝2t，那么c＝3t，b＝t，所以椭圆的方程为x24t2＋y2t2＝1，
由点P1，32在椭圆上，
得14t2＋34t2＝1，解得t2＝1，
因此a2＝4，b2＝1，c2＝3，
故椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时，不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx－2代入x24＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
所以x1＋x2＝16k1＋4k2，x1x2＝121＋4k2，
所以|PQ|＝1＋k2•(x1＋x2)2－4x1x2
＝41＋k2•4k2－31＋4k2，
设原点O到直线l的距离为d，
那么d＝2k2＋1，
所以S△OPQ＝12d•|PQ|
＝12•2k2＋1•41＋k2•4k2－31＋4k2＝44k2－34k2＋1.
设4k2－3＝t(t＞0)，
那么S△OPQ＝4tt2＋4＝4t＋4t.
因为t＞0，所以t＋4t≥4，当且仅当t＝2，即k＝±72时取等号，且满足Δ＞0，所以△OPQ的面积的最大值为1.
22．解析：(1)F1，F2是椭圆x22＋y24＝1的两焦点，
那么c＝4－2＝2，
即有F1(0，2)，F2(0，－2)，
设P(x，y)，(x＞0，y＞0)，
那么由PF1→•PF2→＝1，
得x2＋y2＝3，
又x22＋y24＝1，
解得x＝1，y＝2.
那么点P的坐标为(1，2)．
(2)由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，
设直线PB的斜率为k，那么直线PB的方程为y－2＝k(x－1)，
由于过点P作倾斜角互补的两条直线PA，PB，那么直线PA：y－2＝－k(x－1)．
由y－2＝k(x－1)，x22＋y24＝1，
消去y，得(2＋k2)x2＋2k(2－k)x＋(2－k)2－4＝0，
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由根与系数的关系，得1＋xB＝－2k(2－k)2＋k2，xB＝k2－22k－22＋k2，
得yB＝22－2k2－4k2＋k2，
同理可得xA＝k2＋22k－22＋k2，
yA＝22－2k2＋4k2＋k2，
所以kAB＝yA－yBxA－xB＝2为定值．