BOSS-初中数学-一元二次方程B级-第02讲.docx

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初中数学同步课程 《一元二次方程》.教师版.（B级） 1 / 13
中考考纲
考点
课标要求
知识与技能目标
了解
理解
掌握
灵活应用
一元二次方程
一元二次方程根的判别式
√
一元二次方程根与系数关系
√
知识架构
一元二次方程根的判别式
一元二次方程
一元二次方程根与系数关系
要点解析
易错点1：使用根的判别式判断根的情况时容易出错
辨析：在使用根的判别式确定根的情况时首先必须满足方程是一元二次方程，而且判别式等于零时原方程是有两个相等的实数根而不是一个实数根
易错点2：使用韦达定理时容易出错
辨析：假设一元二次方程的两根是，，则，．
注意：方程必须首先要有根才能使用韦达定理，即首先要满足
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模块一：根的判别式
知识精讲
一、一元二次方程根的判别式的定义
运用配方法解一元二次方程过程中得到 ，显然只有当时，才能直接开平方得：．
也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．
二、判别式与根的关系
在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．
设一元二次方程为，其根的判别式为：则
①方程有两个不相等的实数根．
②方程有两个相等的实数根．
③方程没有实数根．
说明：
⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，．
⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．
三、一元二次方程的根的判别式的应用
一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：
（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；
（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；
（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
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例题解析
已知，，是不全为0的3个实数，那么关于的一元二次方程的根的情况（ ）
A．有2个负根 B．有2个正根
C．有2个异号的实根 D．无实根
已知，，为正数，若二次方程有两个实数根，那么方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个不相等的负实数根 D．不一定有实数根
设方程只有个不相等的实数根，求的取值和相应的个根 ？
已知实数、、、、满足，，求证：一元二次方程必有实根？
已知关于的二次方程与，求证：当时，这两个方程中至少有一个方程有实数根？
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初中数学同步课程 《一元二次方程》.教师版.（B级） 4 / 13
设、、为互不相等的非零实数，求证：三个方程
，
，
，
不可能都有2个相等的实数根？
已知，，判断关于的方程的根的情况，并给出必要的说明？
若二次方程有实根，其中，为奇数，证明：此方程的两个根都是无理数
是否存在质数，使得关于的一元二次方程有有理数根？
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初中数学同步课程 《一元二次方程》.教师版.（B级） 5 / 13
为给定的有理数，为何值时，方程的根为有理数？
当在什么范围内取值，方程有且只有两相异实根？
已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）取值范围；
（2）在实数，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由？
已知关于的方程有两个相等的实数根，且、为实数，则________．
已知：、为整数，关于的二次方程有两个不相等的实数解，有两个相等的实数根，没有实数根，求、的值？
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初中数学同步课程 《一元二次方程》.教师版.（B级） 6 / 13
若关于的方程和都没有实数根（、是实数），⑴问式子是否总有意义，说明理由．⑵问是否可以是整数，若可以，当为整数时，求的值；若不可以为整数，说明理由？
已知，是直角三角形的两边，第三边的长满足方程，则的值为 ．这样的直角三角形有 个．
已知的三边满足：，，试确定的形状？
模块二：根与系数关系
知识精讲
一、韦达定理
如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）
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初中数学同步课程 《一元二次方程》.教师版.（B级） 7 / 13
特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，．
二、韦达定理与根的符号关系
在的条件下，我们有如下结论：
当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若， 则此方程的正根小于负根的绝对值．
⑵当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．
更一般的结论是：
若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地：
① ，
② 且，
③ 且，
特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．
三、韦达定理的应用
⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；
⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；
⑶已知方程的两根，求作方程；
⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；
⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；
⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．
例题解析
已知关于的方程有两个实数根，，且，求值？
实数为何值时，关于的一元二次方程．
⑴有两个正根？
⑵两根异号，且正根的绝对值较大？
⑶一根大于3，一根小于3？
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初中数学同步课程 《一元二次方程》.教师版.（B级） 8 / 13
已知方程的两根的平方和为5，则m=__________．
已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求的值．
已知（）是方程的两个实数根，是方程的两实数根，且，，求的值？
已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由？
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初中数学同步课程 《一元二次方程》.教师版.（B级） 9 / 13
已知、是方程的两根，求的值？
已知方程的根是和，方程的根是和．其中，、、、为不同实数，求、、、的值？
关于的二次方程有实根和，且，确定的取值范围？
已知方程的两实根为、，方程的两实根为、．
若、均为负整数，且，求、的值；
若，，求证：
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初中数学同步课程 《一元二次方程》.教师版.（B级） 10 / 13
阅读材料：设一元二次方程的两根是、，则根与系数关系为：，．已知，，且，求的值．
随堂练习
当为何值时，关于的方程有实根？
已知方程有实数根，求的取值范围？
已知是一元二次方程的一个实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．