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高考考纲
考点
课标要求
知识与技能目标
了解
理解
掌握
灵活应用
数列
数列的概念与表示
√
等差数列及前项和
√
等比数列及前项和
√
知识架构
特殊数列
数列的基础知识
定义
数列
项、通项
数列表示法
列表法
图像法
解析法
分类
有穷数列
无穷数列
定义
通项公式
前项和公式
等差数列
等比数列
特殊数列求和
要点解析
数列的定义
数列是指按照一定顺序排列着的一列数，在函数意义下，数列是某一定义域为正整数（或它的有限子集）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，其图像是无限额或有限个孤立的点，数列的一般形式为通常记为，其中是数列的第项，也叫做通项.
数列的表示方法
数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始依次取自然数时，相对应的一系列函数值，因此，可以说数列是特殊的函数，所以从函数的观点看，数列的表示方法也有三种：（1）解析法；（2）列表法；（3）图像法.
数列的分类
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有穷数列和无穷数列；单调数列，摆动数列，常数列；有解数列和无界数列；
若为数列通项，为其前项和，则有
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示．即等差数列有递推公式：．
等差数列的通项公式为：．
等差数列的前项和公式：．
等比数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）
等比数列的通项：
等比数列的前项和公式：．
数列的性质
等差数列的判定方法
定义法：
通项公式法：（为常数）.
中项公式法：.
前项和公式法：（为常数）.
等比数列的判定方法
定义法：（是不为的常数）
通项公式法;(均是不为的常数)
中项公式法：
前项和公式法：（是常数，且）
常见的已知递推式求通项公式的常用方法：
（其中），则；
（其中），则；
（其中，，是关于的多项式函数），
可设，其中为与的次数相等的多项式函数，各项的系数都待定，通过比较与的各项系数可以确定待定系数；
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，其中，，，，．
若，则；
若，则可以设；也可两边同时除以：；
也可两边同时除以：．
常见的已知递推式求前项和公式的常用方法：
直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.
等差数列的求和公式：
等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）
公式法：
错位相减法：比如
裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项.
常见拆项公式：；；
分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.
合并求和法：如求的和.
倒序相加法：等差数列求和公式推导.
其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等
模块一：数列的概念与表示
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知识精讲
数列的定义
数列：按一定次序排列的一列数叫做数列；
，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为的项叫第项（也叫通项）记作；
数列的一般形式：，，，……，，……，简记作.
通项公式的定义：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
例如，数列：的通项公式是
数列：的通项公式是
说明：①表示数列，表示数列中的第项，表示数列的通项公式；②，；③，
数列的表示方法
（1）解析法
.
有些数列，虽然它给出的是递推公式，但可以根据递推，求出它的前几项，进而归纳出它的通项公式.
（2）图像法
数列的函数特征与图象表示：
序号：1 2 3 4 5 6
项 ：4 5 6 7 8 9
，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值通常用来代替其图象是一群孤立点.
（3）列表法
数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列.
递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
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数列的前项和定义：．
数列的前项和构成了一个新的数列，且．
例题解析
下列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
（1）（2）（3）（4）
已知数列的前项，写出下面数列的一个通项公式：
（1）（2）
（3）(4)
已知无穷数列判断与是否为该数列中的项，若是，应为第几项？
已知数列的通项公式为
数列中有多少项是负数；
为何值时，有最小值？并求出最小值.
设是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式是___________.
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模块二：等差数列
知识精讲
等差数列的概念：
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示．即等差数列有递推公式：．
等差数列的通项公式为：．
（1）等差数列的公式的推导：累差法
将这个式子的等号两边分别相加得：，
即．
由等差数列的通项公式易知：．
等差中项：如果三个数组成等差数列，那么叫做和的等差中项，即．
等差数列的性质
.
在等差数列中，若，则，若，则；
该性质推广到三项，即，，，，，且．
推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可．
若均为等差数列，且公差分别为，则数列也为等差数列，且公差分别为．
的公差为，则是递增数列；是递减数列；是常数列．
在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，．．．．，为等差数列，公差为．
判断一个数列为等差数列的方法
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（1）定义法：（常数）为等差数列．
（2）等差中项法：为等差数列．
（3）通项法：为的一次函数为等差数列．
（4）前项和法：为等差数列．
等差数列项数的设法
同项法：设数列的通项公式或
对称法：当等差数列为的项数为奇数时，可设中间的一项为，再以公差为向两边分别设项：；当项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：
等差数列的前项和公式：．
等差数列前项和公式的推导：倒序相加
，
把项的顺序反过来，可将写成：
，
将这两式相加得：
，
从而得到等差数列的前项和公式，又，
得．
等差数列的前项和公式与二次函数
区别
联系
定义域为
图像是一系列的额孤立点
（1）解析式都是二次式；（2）图像是抛物线上的图像的一系列的点．
定义域为
图像是一条光滑的抛物线
（2）观察和得；
（3）应用二次函数求的最大值和最小值的特殊性：即当，达到最大或最小．而当时，取与最近的正整数即可．
（4）有二次函数的性质可得：当时，有最小值，：当时，有最大值．
等差数列前项和的性质
等差数列的前项和也构成一个等差数列，即，，．．．为等差数列，
公差为．
为等差数列，．
通项公式是是一次函数的形式；前项和公式是不含常数项的二次函数的形式．（注当
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时，，）
为等差数列，，则也成等差数列
若，，有最大值，可由不等式组来确定．
若，，有最小值，可由不等式组来确定．
例题解析
在等差数列中，已知求
设是的等差中项，是的等差中项，其中求的值.
已知数列满足
（1）数列是否为等差数列？说明理由.
（2）求
已知等差数列中，求
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数列满足是常数.
（1）当时，求及的值.
（2）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由.
若数列为等差数列，则的值为（ ）.
A、 B、 C、 D、
有两个等差数列、，其前项和分别记作，满足求
在等差数列中，求的最大值.
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模块三：等比数列
知识精讲
等比数列的概念：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）
等比数列的公式的推导：累积法
将这个式子的等号两边分别相乘得：，即
由等比数列的通项公式易知：
等比中项：如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）.
等比数列的性质
若均为等比数列，且公比分别为，则数列也为等比数列，且公比分别为
的公比为，则是递增数列；是递减数列；是常数列．
在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即，，，为等比数列，公比为．判断一个数列为等比数列的方法（1）定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；（2）等比中项法：对于数列，若，则数列是等比数列；
等比数列项数的设法
同项法：设数列的通项公式或
对称法：当等比数列为的项数为奇数时，可设中间的一项为，再以公比为向两边分别设项：；当项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公比为向两边分别设项：