THUSSAT2021年3月诊断性测试文科数学试卷-(1).docx

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中学生标准学术能力诊断性测试 2021 年 3 月测试
A． f ( x) 在æ 0, π ö 上单调递减 B． f ( x) 在æ π , 3π ö 上单调递减

ç 4 ÷ ç 8 8 ÷
è ø è ø
3
文科数学试卷（一卷）
C． f ( x) 在æ 0, π ö 上单调递增 D． f ( x) 在æ π , 3π ö 上单调递增

3
ç 4 ÷ ç 8 8 ÷
3
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
è ø è ø
8． 已知正实数a, b, c 满足2a + b = 1, abc +1 = 2c ，则c 的最大值为
3
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 A． 1 B． 2
2 3
C． 8 D． 2
15
3
合题目要求的．
2
1． 已知集合 A= {x x2 - 5x - 6 £ 0}, B = {x y = log
( x - 2)}，则 A I B =
9． 若函数 f ( x) = x2 在区间[a, b] 上的值域为[t, t +1](t Î R ) ，则b - a
A．有最大值，但无最小值 B．既有最大值，也有最小值
3
A． (2, +¥)
B．[-1, 2)
C． (2, 6]
D． [6, +¥)

C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值
3
2． 设a, b 表示两条不同的直线， b 表示平面，则下列命题正确的是
10．下列函数图象中，不可能是函数 f ( x) = xa × cos x (a Î Z, a
£ 2)的图象是
3
A．若a P
b , a P
b ，则b P b
B．若a P
b , b P
b ，则a P b
3
C．若a ^ b , a ^ b ，则b P b
D．若a ^ b , a P
b ，则b ^ b
3
3． 已知某圆柱的正视图是边长为 4 的正方形，则该圆柱的表面积为
A．16π B． 20π C． 24π D． 40π
3
4． 已知复数 z
= 1+ i, z
= z1 + i （ i 为虚数单位），则复数 z 的模为
3
1 2
2
3 - z1
 A B C D
3
2
3
A．1 B． C．
D． 4
r r r r r
ìur ur
1 r r ur
p r ü
3
11．已知向量a 满足 a
= 3 ，设 X = {x x = 2 x - a },Y = í y y =
x , < x, y >= , x Î X ý ，若
3
5． 某三棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该三棱锥最长的棱长和体
ur r
5
m Î X , n ÎY ，则 m - n 的最大值为
î 2 2 þ
3
积分别为
2
A． - 3
5
5
2
B． + 3
5
2
2

C． 2 - 3

5
D． 2 + 3
3
A． 5, B．
3
C． 6,
2
D．
5,
6
6, 5
12．已知直线l : y = x + 2 ，若椭圆C : x
a2
y2 = 1(a > 1) 上的点到直线l 的距离的最大值与最小值
3
2
3 6 （第 5 题图）
63
之和为2
，则椭圆C 的离心率范围是
3
6． 等比数列{an} 的各项均为实数，其前n 项和为Sn ，已知S3 = 14, S6 =
1
，则a5 =
4 1

æ 6 ù
A． 0,
B． æ 6 ,1ö

æ 2 ù
C． 0,
D． é 2 ,1ö
3
A． 2 B．
C． 4 D．
ç 3 ú
ç 3 ÷
ç 2 ú
ê 2 ÷
3
2 4 è û è ø è û ë ø
π
3
2
7． 已知 f ( x) = sin (w x + j ) + cos(w x + j ),w > 0, j
< , f ( x) 是奇函数，直线 y = - 与函
2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
3
数 f ( x) 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π ，则 13．已知a = log 108, 3b = 3 ，则a + b= ．
2 3 4
25
26
14．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为 2，则输出的k 值为 ．
15．在△ ABC 中，角 A, B, C 所对的边长分别为a, b, c ， D 为边 BC 上的一点，
从第一个学生开始打电话时计时．
（1）估计第四个学生恰好等待 5 分钟开始打电话的概率；
3
若c = 6, b = 3 2, sin ÐBAD =
7 , cos ÐBAC =

2
，则 AD = ．

（2）Y 表示至第 3 分钟末已打完电话的学生人数，求Y 的分布列及数学期望．
3
x2 y2
4 4
20．（12 分）已知抛物线C : y2 = 4x, A 为抛物线C 上第一象限内的一点，且在直线 x = 2 的右侧，
3
16．已知双曲线C : -
a2 b2
= 1(a > 0, b > 0), F1, F2 分别是双曲线C 的左、右焦
3
点， P 为右支上一点( yP ¹ 0) ，在线段 PF1 上取“△ PF1F2 的周长中点”
已知点M (2, 0) ，点 B (-2, 0) ．连接 BA 交抛物线C 于点 D ．
3
uuur
1 uuur
3
M ，满足 MP + PF2
= MF1 + F1F2 ，同理可在线段 PF2 上也取“△ PF1F2
（1）若 BD = DA ，求 A 点的坐标；
2
1
3
的周长中点” N ．若△ PMN 的面积最大值为 1，则b = ．

（第 14 题图）
（2）设 AD 的中点为 N ，且 MN
³ AD ，求△ ADM 面积的最大值．
2
3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
21．（12 分）已知函数 f ( x) = ax × ln x （其中a ¹ 0, a Î R ）， g ( x) = x -1 ．
x +1
（1）若存在实数a 使得 f ( x) < 1 恒成立，求a 的取值范围；
3
（一）必考题：共 60 分．
Sn
17．（12 分）正项数列{an} 的前n 项和Sn 满足2

= an +1 ．

（2）当a £
e
1 时，讨论函数 y = f ( x) - g ( x) 的零点个数．
2
3
（1）求数列{an} 的通项公式；
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计
分．作答时请写清题号．
3
（2）设b = 2 ，数列{b } 的前n 项和为 B ，求证: B
< 2 ．

22．（10 分）[选修 4－4：坐标系与参数方程]
3
n a × a n
n n 3
3
n n+2
18．（12 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，
已知直线C : ìx = 3 + t cosa ,
1 í y = t sin a ,
î
（ t 为参数），圆C : ìx = 2 + cosq ,
2 í y = sinq ,
î
（q 为参数），
3
AD P BC,ÐABC = ÐDAB = 90°, BC = 2 AB = 2 AD = 2 ， 平面
（1）当a = π 时，求C 与C 的交点坐标；
3
PCD ^ 平面 ABCD ．
2
（1）证明： BD ^ 平面 PCD ；
6 1 2
（2）过坐标原点O 作C1 的垂线，垂足为 A, P 为OA 的中点，当a 变化时，求 P 点轨迹的参数
方程，并指出它是什么曲线．
3
（2）若 PD = PC =
，求三棱锥 B - ACP 的体积．
（第 18 题图）
3
打电话所需的时间/分
1
2
3
4
5
频率





19．（12 分）学校为方便学生联系家长，在教学楼楼下设了一个公共电话亭，学生依次排队打电话．假设学生打电话所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往学生打电话所需的时间统计结果如下表：
23．（10 分）[选修 4－5：不等式选讲]
已知a, b, c 是正数，且满足a + b + c = 3 ，求证：
（1） a2 + b2 + c2 ³ 3 ³ ab + bc + ac ；
3
a2 b2 c2
3
（2）
+ + ³ 3 ．
b c a
3