THUSSAT2021年9月诊断性测试理科数学答案.docx

该【THUSSAT2021年9月诊断性测试理科数学答案 】是由【liaoyumen】上传分享，文档一共【9】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【THUSSAT2021年9月诊断性测试理科数学答案 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。1
中学生标准学术能力诊断性测试 2021 年 9 月测试
理科数学答案
一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
B
B
B
A
D
C
B
A
B
C
二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
(1, 7)
13． (-2, -1)
14． (2, ±2 2)
15． 120
16．
- 13
4
9
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
3
：
9
（1）由SDABC
= 1 ab sin C =
2

，得ab = 4 ①…………2 分
9
又由c2 = a2 + b2 - 2ab cos C = a2 + b2 - 4 = 4 ，得a2 + b2 = 8②…………4 分联立①②解得a = b = 2 .…………5 分
9
（2）因为2R =
c sin C
4 3
=
，…………6 分
3
9
9
所以a + b = 4
3 (sin A + sin B) = é + sinæ 2p - Aöù
9
êsin A
4 3
3
3 3 ë
ç ÷ú
è øû
9
= 4 3 æ 3 sin A + 3 cos Aö = 4 sin æ A + p ö .…………8 分
9
3 ç 2 2 ÷
ç 6 ÷
9
è ø è ø
9
因为 ΔABC 是锐角三角形，所以
p p
6
A Î æ ö
ç ， ÷ ，从而 A +
è 2 ø
p Î æ p 2p ö ，
6 ç 3 ， ÷
è 3 ø
9
3
æ p ö æ ù
14
所以sinç A + ÷ Î ç
6
2 ,1ú ，…………10 分
9
è ø è û
9
所以a + b Î (2

解：
3,4]，即a + b 的取值范围是(2
3,4].…………12 分
9
（1）证明：取 PC 中点G ，连接 EG, FG ，
9
则 EG//DC//AF,EG =
1 DC = AF ，…………2 分
2
9
所以 AEGF 是平行四边形， AE//FG ，…………3 分
AE Ë 面PEC ， FG Ì 面 PFC ,
\ AE // 平面 PFC …………5 分
（2）因为 AF // 平面 PDC ，所以点 A, F 到平面 PCD 的距离相等 …………6 分
由CD ^ AD ，平面PAD ^ 平面 ABCD ，且平面 PAD 平面 ABCD =AD ， 可得CD ^ 平面PAD ，所以CD ^ AE ，…………7 分
由 E 是 PD 中点， DPAD 是正三角形，所以 AE ^ PD ，
…………8 分
CD PD = D ，所以 AE ^ 面PCD …………9 分设 AB = 2a ，
9
则CF 与平面 PCD 所成角的正弦值为 AE =
CF
= 6 …………11 分
3
a2 + 4
4
9
所以a = 2 ，即 AB = 4 .…………12 分
（建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分）
9
解：
（1）∵ a = n a

- 3n × (- 1)n-1 ∴ an = an-1 - 3 × (- 1)n-1 ，…………2 分

9
n n -1
n-1 2 2
n n -1 2 2
9
由累加法，当n ³ 2 时， an - a1 = - 3 × (- 1) - 3 × (- 1)2 - - 3 × (- 1)n-1
n 1 2 2 2 2 2 2
代入a = 1 得， n ³ 2 时，
1 2
9
an = 1 - 3 ×
n 2 2
(- 1) × (1- (- 1)n-1 )
2 2
1- (- 1)
2
= 1 + 1 (1- (- 1 )n-1 ) = 1+ (- 1)n …………4 分
2 2 2 2
26
1
又 a = 适合上式，故a = n + n(- 1)n (n Î N * ) ．…………5 分

1 2 n 2
2 3n2 - 5n
（ 2 ） 解法一： 2Sn - 3n +5n > 0 Û Sn - > 0 ， 数 列 {3n - 4} 的 前 n 项 和 为
2
9
3n2 - 5n 2
，…………6 分
æ
1 ön

3n2 - 5n
9
è ø
令cn = an - 3n + 4 = n × ç - 2 ÷
2n + 4 ，其前n 项和为Cn = Sn -
 ，
2
9
则有c = 3 ， c = 1 ， c = - 19 ，故C > 0 ， C > 0 ， C < 0 。

…………8 分
9
1 2 2
2 3 8
æ 1 ön
1 2 3
éæ 1 ön ù
9
n 2
当 n ³ 4 时， c = n × ç - ÷
è ø
则有Cn < 0 .…………11 分
- 2n + 4 = n × êç - ÷
2
êëè ø
-1ú - n + 4 < 0 ，
úû
9
综上所述，不等式成立的n 为1与2 .…………12 分
æ 1 ön
9
n 2
解法二：令b = n × ç - ÷
è ø
，其前n 项和为Tn ，用错位相减法求和，
9
è
æ 1 ö æ 1 ö2
æ 1 ö3
æ 1 ön
Tn = ç - 2 ÷ + 2 × ç - 2 ÷ +
3× ç - 2 ÷ +
+ n × ç - 2 ÷ ，
1
æ
1
ö2 æ 1 ö3
æ 1 ö4
æ 1 ön+1
2
è
2
÷ + 2 × ç - 2 ÷ +
3× ç - 2 ÷ +
+ n × ç - 2 ÷
è ø
è ø è ø è ø ø
- Tn = ç -
ø è ø è ø
两式相减得：
9
3 æ 1 ö æ 1 ö2
æ 1 ö3
æ 1 ön
æ 1 ön+1
9
2 Tn = ç - 2 ÷ + ç - 2 ÷ + ç - 2 ÷ + + ç - 2 ÷ - n × ç - 2 ÷
è ø è ø è ø è ø è ø
9
1 æ æ
1 ön ö
æ 1 ön+1
9
= - 3 ç1- ç - 2 ÷ ÷ - n × ç - 2 ÷
è è ø ø è ø
9
1 æ 1
n ö æ 1 ön
9
= - 3 + ç +
÷ × ç - ÷
9
è 3 2 ø è 2 ø
9
2 æ 2
n ö æ
1 ön
43
所以Tn = - 9 + ç + ÷ × ç - ÷ ，…………8 分
è 9 3 ø è 2 ø
9
n2 + n 2 æ 2
n ö æ 1 ön
9
则有 Sn =
2 - 9 + ç +
÷ × ç - 2 ÷
.…………9 分
9
è 9 3 ø è ø
4 æ 4 2n ö æ

1 ön
9
记 f (n) = 2S - 3n2 +5n = -2n2 + 6n - + + × -
n 9 ç 9 3 ÷ ç 2 ÷
è ø è ø
当 n = 1 时， f (1) = 3 > 0 ；当n = 2 时， f (2) = 4 > 0 ；
9
4 æ 4 2n ö æ
1 ön
9
当 n ³ 3 且n 为奇数， -2n2 + 6n - < 0 ， ç + ÷ × ç - ÷ < 0 ，则 f (n) < 0
9 è 9 3 ø è 2 ø
当 n ³ 3 且n 为偶数，
9
4 4 76
æ 4 2n ö æ
ön
æ 4 2n ö æ 1 ön
9
-2n2 + 6n - £ -32 + 24 - = - ， ç + ÷ × ç -
÷ = ç +
÷ × ç ÷
< 1 ，
9
9 9 9 è 9 3 ø è
则 f (n) < 0 .…………11 分
2 ø è 9 3
ø è 2 ø
9
综上所述，不等式成立的n 为1与2 .…………12 分
9
：
（1）由于椭圆C 的离心率e =

，故a =
2

2c . 又a2 = b2 + c2 ，所以b = c .
9
所以椭圆C 的方程为 x2 + 2 y 2 = a 2 .…………2 分
æ 2 ö 2
又点 Pç1， ÷ 在椭圆上，所以a = 2 ，
è 2 ø
x2 + 2
9
所以，椭圆方程为
2
y = 1 …………3 分
9
设直线 PA 的斜率为k(k ¹ 0)，则直线 PB 的斜率为- k ，
9
则直线 PA 的方程为 y -
2 = k (x -1).
2
9
代入椭圆方程可得(2k2 +1)(x -1)2 + (2 2k + 2)(x -1)= 0
9
2(1+
2k )
 2 2 (k +
2k 2 )
9
所以 xA = 1-
1+ 2k 2
， yA = 2 -

1+ 2k 2
9
2(1-
2k )
 2 2 (-k +
2k 2 )
63
同理可知， xB = 1-
1+ 2k 2
, yB = 2 -
1+ 2k 2
…………5 分
9
y - y 2(k + 2k 2 )- 2(- k + 2k 2 )

4k 2
9
所以kAB = B A =
= = .
9
xB - xA 2(1+ 2k )- 2(1- 2k )
4 2k 2
9
故直线 AB 的斜率为定值. …………6 分
9
（2）设直线 AB 的方程为 y =
2 x + t ，直线 x = 1 和直线 AB 相交于点Q ,
2
9
9
2
æ
则Qç1, t +
è 2
ö
÷ ，所以 PQ = t .
ø
9
9
把 y =
x + t 代入 x
2
2
2 2
y2
= 1 可得 x2 +
2tx + t 2
-1 = 0 …………8 分
9
9
î A B
2 2 2
ìïxA + xB = - 2t
9
△=2t
- 4(t -1) > 0,\t
< 2 ，由韦达定理，可知íïx × x = t 2 -1 ，
9
2(2 - t 2 )
B A A B A B
所以(x - x )2 = (x + x )2 - 4x x = 2t 2 - 4(t 2 -1)= 4 - 2t 2 ，
9
2
即 xB - xA =
.…………10 分
9
9
所以 S = 1 PQ × x
2 B

xA
= 2
2
t 2 (2 - t 2 )= 2
2
1- (t 2 -1)2 (-
< t < 2 )
9
9
所以当t = ±1时， DPAB 的面积 S 取得最大值
2 .…………12 分
2
9
：
（1）由题意得 f ' (x)= aex ，所以， f ' (1)= ae = 1，解得a = 1 ，…………2 分
e
又因为 f (1)= 1 × e1 + b = 1 ，所以b = 0 ，所以 f (x)= ex-1 .…………3 分
e
（2）证明：对 x 的取值范围分类讨论：
① 0 < x < 1时， e-1 < ex-1 < 1， ln x < 0 ，所以ex-1 × ln x > ln x
有： f (x)ln x + 3 = ex-1 ln x + 3 > ln x + 3 ，
x x x
9
令 g(x)= ln x + 3 ，则 g ' (x)= 1 - 3 = x - 3 < 0 ，所以 g(x)在(0,1)上单调递减，

x x x2 x2
所以 g(x)> g(1)= 3 > 5 ，即 f (x)ln x + 3 = ex-1 ln x + 3 > ln x + 3 > 3 > 5 ，
2 x x x 2
故0 < x < 1时，不等式成立；…………6 分
② x ³ 1时，先证明不等式ex-1 ³ x 在 x Î [1,+¥)上恒成立， 令 h(x)= ex-1 - x(x ³ 1)，则h' (x)= ex-1 -1 ³ 0 ，
所以h(x)在[1,+¥)上单调递增，所以h(x)³ h(1)= 0
即不等式ex-1 ³ x 成立，…………8 分
而此时ln x ³ 0 ，于是有 f (x)ln x + 3 = ex-1 ln x + 3 ³ x ln x + 3 ，
x x x
要证 f (x)ln x + 3 > 5 成立，可证其加强条件： x ln x + 3 > 5 ，
84
即证： ln x +
x 2
3 - 5
x2 2x
x 2
> 0 在 x ³ 1时成立，
9
9
令 m(x)= ln x + 3
x2
- 5 (x ³ 1)，
2x
9
9
则 m' (x)=
1 - 6
x x3
+ 5 =
2x2
2x2 + 5x -12 =
2x3
(2x - 3)(x + 4)
，
2x3
9
所以m(x)在 é 3 ö 上单调递减，在 é 3 ,+¥ ö 上单调递增，
ê1, 2 ÷ ê 2 ÷
ë ø ë ø
所以m(x)³ mæ 3 ö = ln 3 - 1 ，…………10 分
ç 2 ÷ 2 3
è ø
9
由于 27 > 3 > e ，因此 3
8 2
1
> e3 ，所以ln
3 > 1
2 3
9
9
所以m(x)³
æ 3 ö = ln 3 - 1 > 0 ，
9
mç 2 ÷ 2 3
è ø
9
即 m(x)= ln x + 3
x2

- 5 > 0 2x
95
即ln x + 3 > 5
x 2
所以 f (x)ln x + 3 = ex-1 ln x + 3 ³ x ln x + 3 > 5 ，故 x ³ 1时，命题成立.
x x x 2
9
综上，当 x > 0
时，有 f (x)ln x + 3 > 5 成立. …………12 分
9
x 2
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
9
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
| MN | | PQ |
| PQ | × | MN |
(1) 解: 因为 | PQ | + | MN | ³ 2

= 2 ,
9
| MN | | PQ |
9
当且仅当 | PQ | = | MN |
| MN | | PQ |

即| PQ|=|MN| 时取“=”
9
9
故 MN
= PQ
9
9
或135
所以直线 PQ 的倾斜角为45
,…………2 分
9
即直线 PQ 的极坐标方程是
r cosq + r sinq = 5 , 或 r cosq - r sinq = 5 . …………4 分
9
(2) 解:因为24 £ MN
£ 26，24 £
PQ £ 26 ,
9
故12 £ | PQ | £ 13 .…………6 分
13 | MN | 12
2
1 æ 2 ù é ö
又函数 f (x) = x + 在ç 0， ú 上单调递减, 在ê ，+ ¥ ÷ 上单调递增，
2x è 2 û ëê 2 ø
f (x)在 é12 , 13ù 上单调递增.
êë13 12 úû
将 x = 12 , x = 13 分别代入，
13 12
9
(
f 12) = 12 +
1 ´ 13 =
457
， f (13) = 13 +
1 ´ 12 =
241

…………9 分
109
13 13
2 12
312
12 12
2 13
156
9
9
所以 | PQ | +
| MN |
241 457
的最大值为 ，最小值为 .…………10 分
9
| MN |
2 | PQ |
156
312
9
23. [选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
9
因为a,b Î R+

， a + 2b = a + b + b ³ 33 ab2
ìa = b
î
，当且仅当ía + 2b = 3
ìa = 1
í
即 时取
îb = 1
9
“=”.…………2 分
9
（1）

a + 2b = 3 ，\0 < ab2 £ 1，可得
1
ab2

³ 1 ，…………3 分
9
a2 b2
1 + 2
1 1 1 1
= + + ³ 33 ³ 3
a2 b2 b2 a2b4
当且仅当a = b = 1 时，取到最小值 3. …………5 分
（2）因为 x, y 是正数，且 2 + 9 = 1
x y
9
4 + 9
16 81
= x2 + y =

4 9
x 2 + y 2
9
所以，

2
2x2 + x y2 + y
4 9 (
) ( )
9 + 9
y
8 +
4
9
8 + 9 +
x y x
é 4 9 ù
8 + 4
x
9 + 9
y
1 é ù ê y ú
= ê( )2 + ( )2 ú ê( x )2 + ( )2 ú
9
18 ë û ê
8 + 4
9 + 9 ú
9
ê x y ú
ë û
4 9
³ 1 ( 8 + 4 ´ + 9 + 9 ´ y )2 = 1 , …………8 分
x
8 + 4
x
9 + 9
y
18 x y 18
9
4
8 + 4
x
8 + 4
x
x
当且仅当 =

9
9 + 9
y
9 + 9
y
y
时，即

4
x
8 + 4

9
= y
9 + 9

，即 y = 2x 时，取等号。
9
x y
9
9
又 4 + 9 = 1， 所以当x = 17 , y = 17时,

4 + 9
1
取到最小值 .……10 分
9
x y 2
2x2 + x y2 + y 18
9