§9.5-抛物线及其性质(试题部分).docx

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探考情 悟真题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
抛物线的定义及标准方程
①了解抛物线的定义,并会用定义进行解题;
②掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)
2019课标全国Ⅰ,21,12分
抛物线定义及方程
圆的方程,圆的几何性质,抛物线的几何性质
★★☆
抛物线的几何性质
①知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率);
②能用其性质解决有关抛物线的问题,了解抛物线的一些实际应用
2019课标全国Ⅱ,9,5分
抛物线的几何性质
椭圆的几何性质
★★☆
2016课标全国Ⅱ,5,5分
抛物线的几何性质
等轴双曲线
直线与抛物线的位置关系
①会用代数法和数形结合法判断直线与抛物线的位置关系;
②根据所学知识熟练解决直线与抛物线位置关系的综合问题
2018课标全国Ⅰ,20,12分
直线与抛物线的位置关系
直线的方程,定值问题的证明
★★★
2019课标全国Ⅲ,21,12分
直线与抛物线的位置关系
直线过定点,圆的方程,直线与圆的位置关系
分析解读
从近几年的高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着重于对数学思想方法及数学语言的考查.
破考点 练考向
【考点集训】
考点一　抛物线的定义及标准方程
1.(2019河北衡水三模,6)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|FA|+|FB|+|FC|=10,则x1+x2=(　　)

答案　A　
2.(2020届贵州贵阳摸底,14)若直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与C相交于A,B两点,且线段AB的中点M的坐标为(3,2),则抛物线C的方程为　　　　　　. 
答案　y2=4x或y2=8x
3.(2018云南玉溪模拟,14)已知F是抛物线y=x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN的中点到x轴的距离为　　　. 
答案　54
考点二　抛物线的几何性质
1.(2019皖中地区调研,9)抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=(　　)

答案　D　
2.(2019广东韶关第一中学月考,11)直线l过抛物线y2=ax(a>0)的焦点F且与抛物线交于A,B两点,则|AF|·|BF||AF|+|BF|=(　　)

答案　B　
考点三　直线与抛物线的位置关系
答案　B　
2.(2020届山东夏季高考模拟,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=　　　,1|AF|+1|BF|=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分) 
答案　2;1
3.(2020届河南百校联盟10月联考,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l:y=x+1与抛物线C相切于点P,过点P作抛物线C的割线PQ,割线PQ与抛物线C的另一个交点为Q,A为线段PQ的中点,过A作y轴的垂线,与直线l相交于点N,M为线段AN的中点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)求证:点M在抛物线C上.
答案　(1)由y=x+1,y2=2px得y2=2p(y-1),
即y2-2py+2p=0①.(1分)
依题意得,Δ=(-2p)2-8p=0,由p>0,解得p=2.
所以抛物线C的方程为y2=4x.(4分)
(2)证明:将p=2代入①得y2-4y+4=0,解得y1=y2=2,
将y=2代入y=x+1,得x=1,所以点P(1,2).(5分)
设Q(m,n),则n2=4m,因为A为线段PQ的中点,
所以Am+12,n+22.(7分)
联立y=x+1,y=n+22,得Nn2,n+22,
所以线段AN的中点M的坐标为m+n+14,n+22,(9分)
又4×m+n+14=n24+n+1=n+222,满足y2=4x,(11分)
所以线段AN的中点M在抛物线C上.(12分)
炼技法 提能力
【方法集训】
方法1　求抛物线的标准方程的方法
1.(2018河南顶级名校12月联考,7)已知直线l过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是(　　)
=-12x =-8x
=-6x =-4x
答案　B　
2.(2019湖南八校第一次调研,9)在平面直角坐标系xOy中,动点P到圆(x-2)2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=-1的距离相等,则P点的轨迹方程是(　　)
=8x =8y
=4x =4y
答案　A　
3.(2020届山西康杰中学期中,14)顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=35,则此抛物线的方程为　　　　　　. 
答案　y2=4x或y2=-36x
方法2　抛物线定义的应用策略
=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,AF=2FB,则|BC|=(　　)

答案　D　
2.(2019宁夏银川质量检测,14)已知P是抛物线y2=4x上一动点,定点A(0,22),过点P作PQ⊥y轴于点Q,则|PA|+|PQ|的最小值是　　　　. 
答案　2
3.(2019河南顶级名校高三入学测试,15)抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为　　　　. 
答案　13
方法3　与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法
1.(2018福建莆田模拟,6)已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F作直线l与C交于A,|AB|=10,则△OAB的重心的横坐标为(　　)

答案　B　
2.(2019湖南衡阳一模,9)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与C交于A、B两点,且线段AB中点的纵坐标为2,O为坐标原点,则△AOB的面积为(　　)

答案　A　
3.(2020届云南师范大学附中第二次月考,20)过F(0,1)的直线l与抛物线C:x2=4y交于A,B两点,以A,B两点为切点分别作抛物线C的切线l1,l2,设l1与l2交于点Q(x0,y0).
(1)求y0;
(2)过Q,F的直线交抛物线C于M,N两点,证明:QF⊥AB,并求四边形AMBN面积的最小值.
答案　(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=kx+1,
联立x2=4y,y=kx+1得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,
由x2=4y得y=x24,则y'=12x,所以l1:y-y1=12x1(x-x1),即l1:y=12x1x-x124,同理l2:y=12x2x-x224,
由y=12x1x-x124,y=12x2x-x224,x1+x2=4k,y1=kx1+1得x=x1+x22=2k,y=-1,所以y0=-1.
(2)因为QF=-x1+x22,2,AB=(x2-x1,y2-y1),
所以QF·AB=-x22-x122+2(y2-y1)=-x22-x122+x22-x122=0,
所以QF⊥AB,即MN⊥AB.
由(1)得|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,
同理|MN|=4k2+4,
则S四边形AMBN=12|AB||MN|=8(k2+1)1k2+1=8k2+1k2+2≥32,当且仅当k=±1时,取“=”.
所以四边形AMBN面积的最小值为32.
【五年高考】
A组　统一命题·课标卷题组
1.(2019课标全国Ⅱ,9,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=(　　)

答案　D　
2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=(　　)

答案　D　
3.(2018课标全国Ⅰ,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.
(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;
(2)证明:∠ABM=∠ABN.
答案　(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).
所以直线BM的方程为y=12x+1或y=-12x-1.
(2)证明:当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.
当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.
由y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.
直线BM,BN的斜率之和为
kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).①
将x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.
所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.
综上,∠ABM=∠ABN.
4.(2017课标全国Ⅰ,20,12分)设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
答案　(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1≠x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,
于是直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.
(2)由y=x24,得y'=x2,
设M(x3,y3),由题设知x32=1,
解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,
故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2m+1.
从而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).
由题设知|AB|=2|MN|,
即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7.
5.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
答案　由题设知F12,:y=a,l2:y=b,易知ab≠0,
且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.
记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)
(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.
记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则
k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.
所以AR∥FQ.(5分)
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-a|x1-12,S△PQF=|a-b|2.
由题设可得2×12|b-a|x1-12=|a-b|2,
所以x1=0(舍去)或x1=1.
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,
由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x≠1).
而a+b2=y,所以y2=x-1(x≠1).
当AB与x轴垂直时,E与D重合.
所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)
B组　自主命题·省(区、市)卷题组
考点一　抛物线的定义及标准方程
　(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.
(1)求p的值;
(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,.
答案　(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p2=1,即p=2.
(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.
因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由y2=4x,x=sy+1消去x得y2-4sy-4=0,
故y1y2=-4,所以,B1t2,-2t.
又直线AB的斜率为2tt2-1,故直线FN的斜率为-t2-12t.
从而得直线FN:y=-t2-12t(x-1),直线BN:y=-2t.
所以Nt2+3t2-1,-2t.
设M(m,0),由A,M,N三点共线得
2tt2-m=2t+2tt2-t2+3t2-1,于是m=2t2t2-<0或m>2.
经检验,m<0或m>2满足题意.
综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).
考点二　抛物线的几何性质
答案　D　
2.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为　　　　. 
答案　(1,0)
3.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,,∠FAC=120°,则圆的方程为　　　　　　　　. 
答案　(x+1)2+(y-3)2=1
考点三　直线与抛物线的位置关系
　(2019浙江,21,15分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0),B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.
(1)求p的值及抛物线的准线方程;
(2)求S1S2的最小值及此时点G的坐标.
答案　本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,.
(1)由题意得p2=1,即p=2.
所以,抛物线的准线方程为x=-1.
(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=2t,t≠0,则xA=,故直线AB方程为x=t2-12ty+1,代入y2=4x,得y2-2(t2-1)ty-4=0,故2tyB=-4,即yB=-2t,所以B1t2,-=13(xA+xB+xC),yG=13(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-2t+yC=0,
得C1t-t2,21t-t,G2t4-2t2+23t2,0.
所以,直线AC方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).
由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.
从而S1S2=12|FG|·|yA|12|QG|·|yC|
=2t4-2t2+23t2-1·|2t|t2-1-2t4-2t2+23t2·2t-2t
=2t4-t2t4-1=2-t2-2t4-1.
令m=t2-2,则m>0,
S1S2=2-mm2+4m+3=2-1m+3m+4
≥2-12m·3m+4
=1+32.
当m=3时,S1S2取得最小值1+32,此时G(2,0).
C组　教师专用题组
考点一　抛物线的定义及标准方程
1.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=(　　)

答案　A　
答案　C　
3.(2011课标,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为(　　)

答案　C　
4.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为　　　　　　. 
答案　y=±22x
考点二　抛物线的几何性质
　(2013课标Ⅱ,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,|AF|=3|BF|,则l的方程为(　　)
=x-1或y=-x+1
=33(x-1)或y=-33(x-1)
=3(x-1)或y=-3(x-1)
=22(x-1)或y=-22(x-1)
答案　C　
考点三　直线与抛物线的位置关系
1.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,,则r的取值范围是(　　)
A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)
答案　D　
2.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=(　　)

答案　C　
3.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA·OB=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)

答案　B　
4.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是　　　　　　　. 
答案　(-∞,-1)∪(1,+∞)
5.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.
(1)求点A,B的坐标;
(2)求△PAB的面积.
注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.
答案　(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),
由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,
由于直线PA与抛物线相切,得k=t.
因此,点A的坐标为(2t,t2).
设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,
解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.
因此,点B的坐标为2t1+t2,2t21+t2.
(2)由(1)知|AP|=t·1+t2,
和直线PA的方程tx-y-t2=0.
点B到直线PA的距离是d=t21+t2,
设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=12|AP|·d=t32.
6.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0).
(1)求轨迹C的方程;
(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
答案　(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|+1,
化简整理得y2=2(|x|+x).
故点M的轨迹C的方程为y2=4x,x≥0,0,x<0.
(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),
依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).
由方程组y-1=k(x+2),y2=4x,
可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①
(i)当k=0时,y==1代入轨迹C的方程,得x=14.
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1.
(ii)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②
设直线l与x轴的交点为(x0,0),则
由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-2k+1k.③
若Δ<0,x0<0,由②③解得k<-1或k>12,
即当k∈(-∞,-1)∪12,+∞时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
若Δ=0,x0<0或Δ>0,x0≥0,
由②③解得k∈-1,12或-12≤k<0,
即当k∈-1,12时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.
当k∈-12,0时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.
故当k∈-12,0∪-1,12时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.