【原创】2021-2021学年上学期高二自主先学1-正弦定理-学生版.docx

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图片：教材截图
1．正弦定理
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即．
2．正弦定理的推广及其变形
①正弦定理的推广：设外接圆的半径为，则．
这样结论对任意三角形都成立．
②正弦定理的常见变形
边化角公式
角化边公式
变式1
变式2
变式3
3．正弦定理的推导
分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况进行推导:
①当为直角三角形时，如下图所示，
有，所以．
又因为，所以有．
②当为锐角三角形时，如下图，
设边上的高是，根据三角函数的定义，，，
所以，得到，
同理可证，即．
当是钝角三角形(如下图)时，
设为钝角，边上的高为．
∵，∴，
∴，且，
∴，即，同理．
综上可知，，对于任意三角形，均有，此即为正弦定理．
4．三角形解的讨论
一般地，已知三角形的两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形的形状，解这类问题时将出现误解、一解和两解三种情况下，下面以已知和．用正弦定理求解三角形出现的各种情况为例进行说明．已知，求(若确定，则与c可确定)．
（1）从代数角度有:，
①当时，不存在，使，所以无解．
②当时，即时，有，当时有解，当时，无解．
③当时，先求出在内满足的两解(不妨设)，再看是否小于，若小于，则有两解；若，则无解;若且，则有一解．
（2）从几何角度有：
①为锐角时，若，无解，如图（1）；
若，一解，如图（2）；
若，两解，如图（3）；
若，一解，如图（4）．
②为直角或钝角时，若，无解，如图（5）；若，一解，如图（6）．
规律总结我们把上述的各种情况归纳成下表：
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．中，角所对的边分别为，已知，，，
则（ ）
A． B． C．或 D．或
1．的内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．