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生存模型
生存状态和生存模型
一、生存状态
从数学的角度来看，生存状态是一个简单的过程。这个过程具有以下的特征：
1、存在两种状态：生存与死亡。
2、单个生命个体可划分为生存者和死亡者，也就是说我们可以说出他们的状态。
3、生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态，但不能相反。
4、任何个体的未来生存时间都是未知的，所以我们生存或死亡概率的探讨而着手生存状态的研究。
二、 生存模型：是一类特殊随机变量的概率分布；是对生存过程建立的一个数学模型。
假设一台设备从时刻t=0开始连续运行直至报废，用T表示该设备从时刻t=0开始直至报废或失效的时间，则该设备在任意时刻t（t≥0）仍正常运行的概率Pr（T＞t）可以记为：
（）
上式中显然有：
（）T≥0
（）S（0）=1
（）S（t）是t的非增函数，且
随机变量T为设备从t=0开始的“未来寿命”。S（t）为生存函数。
精算生存函数
对于一个刚刚出生的个体（0岁）的未来生存时间可作为一个随机变量，我们用T0表示。
定义随机变量T0的分布函数F0（t）为
F0（t） =P（T0≤t）（）
F0（t）是一个正好0岁的人不晚于t岁死亡的概率。
未来生存时间超过t年的概率就是S0（t），就是生存函数或生存分布：
S0（t）= P（T0＞t）=1- F0（t） （）
通常S0（t）可以表示为S（t）； F0（t）可以表示为 F（t） 。这是新生婴儿的生存模型和分布函数。
二、对于一个年龄为x岁的人的的未来生存时间定义为Tx，随机变量Tx的分布函数记为F（t:x） 。
F（t;x） =P（Tx≤t）（）
F（t;x）是一个x岁的人不晚于x+t岁死亡的概率。
一个年龄为x岁的人的未来生存时间超过t年的概率就是或S(t;x)，就是生存函数：
S（t;x）= P（Tx＞t）=1- F（t;x） （）
S（x+t）= S（x） S（t;x） （）
生存函数的形式
参数生存模型：S（t）
实际运用中，用表格描述生存模型
多个伴随变量的生存模型
S（t；x1，x2，…，xm）
研究方法
横向研究：适用大样本空间
选择一个独立人群
选取一个观察期
纵向研究：
确定一个特殊的人群
对每个对象进行观察直至死亡
T的分布函数
S（t）的性质
由T决定的S(t)也称为生存分布函数，有
S（0）=1，S（+∞）=0.
令F（t）=Pr（T≤t），
有F（t）==1- S（t）
上式有： F（0）= 0，F（ +∞ ）=1
对于连续型随机变量T，其概率密度函数：
（t≥0）
从而有
01
危险率（死力）
02
中位数
如果Pr（T＞y）=Pr （T≤y）=1/2，则称y为随机变量的中位数
有 S（y）=F（y）= ½
01
02
03
3参数生存模型举例:
01
均匀分布
02
均匀分布的概率密度函数为
03
其性质：