类竞赛图.docx

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《类竞赛图及其应用》
导言：
在图论中，我们通常会遇到许多各种各样的图，其中有一类特殊的图就是类竞赛图（Competition Graph）。类竞赛图是由圆点和边构成的，其中每个圆点代表一个单独的个体，而每条边则代表这两个个体之间存在一种竞争关系。类竞赛图在许多问题中都有广泛的应用，如占领问题和比赛问题等。本文将深入探讨类竞赛图及其应用。
一、类竞赛图的定义
类竞赛图是一个无向图，它的顶点集合V对应竞赛者，边集合E表示V中的竞赛者之间存在一些比较关系或竞争关系。如果存在一个k元组(a1,a2,…,ak)，使得对于证书i∈{1,2,…,k}，有边(ai,aj)，则称这个k元组为这个图中的k上下领结（k-clique）。如果这个图的每个k上下领结是完全图，那么这个图是一个完全类竞赛图。
二、类竞赛图的性质
类竞赛图具有以下性质：
，不存在大小为3的反馈边集。
证明：由于类竞赛图有五个点，则在该五个点构成的四元环中必然存在一个4元组，它们为一个上下领结，因为这个图不存在大小为3的上下领结，所以这四个点同时存在，这些节点构成一个最大上下领结，因此不存在反馈边集。
，总能找到一种次序，将所有的节点编号，使得该图能够转化为一个完全类竞赛图。
证明：对于一个类竞赛图，我们可以将它的节点以链的形式排列，链的两端没与其它节点相连，最中间的节点和相邻的两个节点相连。这个构造在一般的图中可能是不连通的，但在类竞赛图中一定是连通的。这种排列方式是唯一的，因此所有的类竞赛图都可以转化为一个完全类竞赛图。
。
对于类竞赛图，其边的数目至多是顶点数的平方。这是因为对于一个大小为k的上下领结，它的完全图有k(k-1)/2条边，因此在一个类竞赛图中，总共最多有N(N-1)/2条边，其中N是节点数。
三、类竞赛图的应用
类竞赛图已经被应用于许多问题中，下面我们将介绍其中两个经典问题：占领问题和比赛问题。

考虑下面的占领问题：给定大小为n的一个占领棋盘和m个占领者（每个占领者位于棋盘上的某个位置），两个占领者之间的距离是它们的曼哈顿距离（即它们左右之间的距离与它们上下之间的距离之和）。我们使用一个大小为n的方阵A表示占领棋盘，其中A(i,j)表示(i,j)位置是否已被占领。则占领问题是将所有占领者不断移动，使得任何两个占领者距离大于给定的阈值d。也就是说，我们需要找到一个最小的整数k，使得有一个排列π={π1,π2,…,πm}，对于任意i,j∈{1,2,…,m}，满足dist(Aπi,Aπj)≥d。
对于占领问题，可以构造一个类竞赛图，并且以此解决一些相关问题，如在某些限制下找到一个可行的解或最小化最大匹配。

在一场付费比赛中，参赛者需要支付费用f，比赛的胜者将得到一个奖励，奖励可以用一个k|×|k的矩阵M表示，其中M(i,j)表示第i个参赛者战胜第j个参赛者可以得到的奖励。考虑如何最大化总奖励。
我们可以将这个问题转化为一个寻找团定值的问题，这里我只简单介绍一下。假设我们想要选出一些参赛者，使得他们付出的费用f最小，同时他们之间的任何一对参赛者都有可能产生一个奖励，这里我们将可能产生奖励的参赛者子集称为团。我们需要寻找一个最大的团，对子集内的参赛者进行匹配，最后求出总奖励。这个问题可以通过构建类竞赛图来解决。
结论：
类竞赛图是一个非常有用的图模型，应用广泛。无论是占领问题还是比赛问题，都可以通过构建类竞赛图来解决。通过深入研究，我们也可以发现类竞赛图具有许多有趣的性质。