专题01-嵌套函数问题-冲刺2121年高考数学压轴题微切口突破(原卷版).docx

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嵌套函数，就是指在某些情况下，您可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数.
一般地，对于定义在区间 D 上的函数 y =
f (x) （1）若存在 x0 Î D ,使得
f (x0 ) = x0 ,则称 x0 是函数
y = f (x) 的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在 x0 Î D ,使 f ( f (x0 )) = x0 ,则称 x0 是函数 y =
f (x) 的二
阶不动点,简称稳定点.
类型一 嵌套函数中不动点稳定点问题
典例 1
A = {x | f ( x) = x} ， B = {x | f ( f (x )) = x} .
求证： A Í B ；
若 f ( x ) = ax2 - 1( a Î R, x Î R ) ，且 A = B ¹ Æ ，求实数 a 的取值范围；
若 f (x) 是 R 上的单调递增函数， x0 是函数的稳定点，问 x0 是函数的不动点吗？ 若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.
类型二 嵌套函数中零点个数问题
典例 2 若函数 f ( x) = x3 + ax2 + bx + c 有极值点 x ， x ，且 f ( x ) = x ，则关于 x 的方程
1 2 1 1
3( f ( x))2 + 2af ( x) + b = 0 的不同实根的个数是类型三 嵌套函数中参数问题
典例 3 已知函数 f ( x) ={
x2 - 2ax - a +1, x ³ 0,
ln (-x), x < 0,
g ( x) = x2 +1- 2a .若函数 y =
f ( g ( x)) 有 4 个零
点，则实数a 的取值范围是 .
ex + x - a
设函数 f (x) =
（ a Î R ， e 为自然对数的底数），若曲线 y = sin x 上存在点(x0 , y0 ) ，使
f ( f ( y0 )) = y0 成立，则 a 的取值范围是_
ì 5 p
ï 4 sin( 2 x) (0 £ x £1)
已知函数 y =
f (x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x ³ 0 时， f (x) = í 1
，若关于 x 的
ï( )x +1 ( x > 1)
îï 4
方程[ f (x)]2 + af (x) + b = 0 （ a, b Î R ）,有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a 的取值范围是3．已知 a， b是实数，1 和-1是函数 f (x) = x3 + ax2 + bx 的两个极值点．
求 a和 b的值；
设函数 g(x) 的导函数 g¢(x) = f (x) + 2 ，求 g(x) 的极值点；
设 h(x) = f ( f (x)) - c ，其中c Î[-2 ，2] ，求函数 y = h(x) 的零点个数．
已知函数 f (x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0) ，且 f (x) = x 没有实数根， f ( f (x)) = x 是否有实数根？并证明你的结论.
设 f (x) = x 2 + ax + b cos x ，{x f (x) = 0, x Î R}= {x f [ f (x)] = 0}¹ Æ ，则满足条件的所有实数 a, b 的取值分别为_ .
设 x Î R ，若函数 f (x) 为单调递增函数，且对任意实数 x ，都有 f [ f (x) - ex ] = e + 1（ e 是自然对数的
底数），则 f (ln 2) 的值等于 .
已知函数 是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x ˃ 0，都有 ，则 =
．
已知定义在(0，+ ¥)上的函数 f (x) 为单调函数，且 f (x) f ( f (x) + 1 ) = 1，则
x

f (1) = .
9. 已知 f : {1,2,3，LLn}® {1,2,3,LLn}（ n ³ 3, n Î N ）满足 f ( f (x)) =
f (x) ，求这样的函数个数有
多少个？
ìï5|x-1| -1
î
R 的函数 f (x) = íïx2 + 4x + 4
x ³ 0
x < 0

，若关于 x 的方程 f 2 (x) - (2m +1) f (x) + m2 = 0 有7
个不同的实数解，则 m=