专题10--强化提高.docx

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知识要点
1．a＋b，a－b，ab这三种类型的式子常常要通过完全平方公式和平方差公式建立联系．
2．几何图形的综合题中的边长或者角度的定量关系常常需要通过勾股定理列方程来解决．
3．与中点有关的问题可以考虑构造中位线来解决．
典型例题
例1
【分析】在运算中能运用运算律的可以利用运算律降低运算量．
【解】原式＝＝－＝＝．
【点评】二次根式的运算应遵循运算法则，能使用运算律时使用运算律．
拓展与变式1 先化简，再求值：，其中x＝＋1，y＝－1．
拓展与变式2 已知，，求．
拓展与变式3 已知，求的值．
【反思】二次根式的求值问题是这个章节的重点题型，除了基本的二次根式计算题，我们还需要汪意结合分式、整式的乘除、因式分解的综合计算题．
例2 如图10－1所示，长方形ABCD中，BE＝EC，将△AEB折叠得△AEF，延长AF交CD于G．
(1)猜想：线段GF与GC的数量关系是，并证明你的猜想；
(2)若AB＝2，AD＝3，求GC的长．
【分析】第(1)小题中需要证明的等量关系可以通过证明两次全等来完成，而第(2)小题显然需要利用勾股定理列出方程方可计算．
【解】(1)GF＝GC．证明：如图10－2，连接GE，
∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．由折叠可知，△ABE≌△AFE，
∴∠B＝∠AFE＝90°，BE＝FE．
∵BE＝EC，∴EC＝FE，∠GFE＝∠C＝90°．∴EG＝EG，∴△EFG≌△ECG．∴GF＝GC．
(2)设GC＝x，∵DC＝AB＝2，∴DG＝2－x，AG＝2＋x．∴AG2＝AD2＋DG2．
∴(2＋x)2＝32＋(2－x)2．
解得x＝，∴GC＝．
【点评】勾股定理是现阶段最重要的几何长度的求值手段，所以在与各种图形结合的题型中，线段的求值问题都可以考虑勾股定理．
拓展与变式4 在△ABC中，AB＝10，AC＝，BC边上的高AD＝6，则BC＝ ．
拓展与变式5 若等腰三角形腰的长为5，一边上的高为4，则其底边的长为 ．
拓展与变式6如图10－3所示，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，点D在AC边上，CD＝1，CA＝4，点P在BC边上，则PA＋PD的最小值是 ．
【反思】在特殊三角形、分类讨论及最短路径问题背景下的求值，需要我们构造直角三角形正确使用勾股定理解决问题．
例3如图10－4所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，点D，E分别是BC，AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．求四边形AFBD的面积．
【分析】先利用中点与平行条件证明四边形AFBD是平行四边形，再通过平行四边形的对角线平分平行四边形面积的性质解决问题．
【证明】∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD．∵E是AD的中点，∴AE＝DE．
∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC．∴AF＝DC．
∵D是BC的中点，∴BD＝DC．∴AF＝BD．
∵四边形AFBD是平行四边形．∴AD＝BF．
∵AB＝BA，∴△ABD≌△BAF．∴S四边形AFBD＝2S△ABD．
又∵BD＝DC，∴S△ABC＝2S△ABD．∴S四边形AFBD＝S△ABC，∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，
∴S△ABC＝AB·AC＝×4×6＝12．∴S四边形AFBD＝12．
【点评】与平行四边形的面积有关的问题多种多样，要能灵活结合与面积有关的性质统筹思考．
拓展与变式7如图10－5所示，在OABCD中，AE上BC，AF上CD，∠D＝60°，DF＝3，AE＝，则AB＝ ，S□ABCD＝ ．
拓展与变式8如图10－6所示，点P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB＝5，S△PBC＝3，则阴影部分面积为 ．
【反思】与平行四边形有关的面积问题需要联想到基本面积公式以及平行四边形图形的性质．
例4如图10－7所示，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线并说明理由(保留作图痕迹，不要求写作法)．
【分析】如图10－8，连接AB，则△AOB就是等腰三角形，再利用平行四边形对角线与等腰三角形“三
线合一”的性质来画图．
【解】连接AB，EF相交于点K，作射线OK，则OK就是∠AOB的平分线，了四边形AEBF是平行四边形，∴AK＝BK．∵OA＝OB，∴OK平分∠AOB．
【点评】用无刻度直尺画图问题的关键在于对几何图形的性质的理解与应用．
拓展与变式9 如图10－9所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，P，Q分别在边AD，BC上，且PD＝QB．连接PQ，请你只用无刻度的直尺画出线段PQ的中点O，并说明理由．
拓展与变式10 如图10－10所示，在平行四边形ABCD中，AB＝BC，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图：
(1)如图①，在CD上找点F，使点F是CD的中点；
(2)如图②，在AD上找点G，使点G是AD的中点．
拓展与变式11如图10－11所示，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
(1)在图①中，画出一个以AB为边的平行四边形；
(2)在图②中，画出一个以AF为边的四边形，且该四边形的四条边都相等．
【反思】无刻度的直尺画图问题，意在考查对图形的判定条件的理解与对图形的综合知识的处理．
专题突破
1．如图10－12所示，某广场是一个形状为平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有AB∥EF∥DC'BC∥GH∥AD，那么下面说法错误的是( )．
A．红花、绿花种植面积一定相等
B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等
D．蓝花、黄花种植面积一定相等
2．已知a＝＋，b＝－，则的值为( )．
A．2 B．12 C．2 D．－2
3．如图10－13所示，一张直角三角形的纸片，按如图进行折叠，使两个锐角的顶点A，B重合．若∠A＝30°，AC＝，则DC的长为 ．
4．如图10－14所示，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点M，而MC平分∠BMD．
若∠MCD＝45°，求∠BAD和∠ABC的度数．
5．如图10－15所示，四边形ABCD的四条边都相等，连接AC，过点B作BE//AC，过点C作CE上BE，垂足为E．请你用两种不同的方法，只用无刻度的直尺在图中作出一条与CD相等的线段．
6．如图10－16所示，用无刻度的直尺画一条直线，将四边形ABCD和四边形EFGH分成面积相等的两部分(保留作图痕迹)，其中四边形ABCD是平行四边形，四边形EFGH是正方形．
7．如图10－17所示，已知6ACD与6BCE都是等边三角形，Y，G，M，N分别是线段AC，CE，CD，CB的中点，求证：FG＝MN．
8．如图10－18所示，已知四边形ABDC中，AD与BC相交于E，∠l＝∠2＝∠3，BD＝CD，∠ADE＝
90°，CH上AB于H，CH交AD于F．
(1)求证：CD//AB；
(2)求证：△BDE≌△ACE，
(3)若O为AB中点，求证：OF＝BE