专题8-(2).docx

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考情分析　解直角三角形的应用近6年共考查2次，2014年在第20题，2012年在第18题，分值均为7分．题目与实际背景相结合，求解不易直接测量的高度等，涉及仰角和坡角．
例　(2017阿坝州)如图1，小明在A处测得风筝(C处)的仰角为30°，同时在A正对着风筝方向距A处30米的B处，小明测得风筝的仰角为60°，求风筝此时的高度．(结果保留根号)
图1
方法总结　解决这类问题时，首先要根据题意弄清图形中的已知量与未知量，将已知条件转化为边角关系，若不是直角三角形，则添加恰当的辅助线构造直角三角形，然后选择合适的关系式来解直角三角形．
训练　，在地铁某站通道的建设中，建设工人将坡长为20米(AB＝20米)、坡角为20°30′(∠BAC＝20°30′)的斜坡通道改造成坡角为12°30′(∠BDC＝12°30′)的斜坡通道，使斜坡的起点从点A处向左平移至点D处，求改造后的斜坡通道BD的长．(，参考数据：sin 12°30′≈，sin 20°30′≈，sin 69°30′≈)
图2
2．五一期间，小明到美丽的黄山参加社会实践活动，如图3，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向；然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．(参考数据：≈，)
图3
3．如图4，直升飞机在大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO＝450米，且A，B，O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α＝30°，β＝45°，求大桥的长AB.
图4
4．(2017宿迁)如图5所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10 km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度．(结果保留根号)
图5
5．(2017内江)如图6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)
图6
参考答案
例　解：∵∠A＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°.
∴BC＝AB＝30米．
在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，BC＝30，
∴sin∠CBD＝＝＝.
∴CD＝15米．
答：风筝此时的高度为15米．
训练　：∵BC⊥DC，∠BAC＝20°30′，AB＝20米，
∴sin∠BAC＝.
∴BC＝AB·sin∠BAC＝20×sin 20°30′.
在Rt△BDC中，∵∠BDC＝12°30′，sin∠BDC＝，
即sin 12°30′＝，
∴BD＝≈≈(米)．
答：．
图1
2．解：如图1，作PC⊥AB于C，
∠ACP＝∠BCP＝90°，∠APC＝30°，∠BPC＝45°.
在Rt△ACP中，
∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，
∴AC＝AP＝50，PC＝AC＝50 .
在Rt△BPC中，
∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，
∴BC＝PC＝50 .
∴AB＝AC＋BC＝50＋50 ≈50＋50×＝(米)．
答：
3．解：∵大桥两端的俯角分别为α＝30°，β＝45°，
∴∠PAO＝30°，∠PBO＝45°.
∴＝tan 30°，＝tan 45°.
∴OA＝＝450，OB＝＝450.
∴AB＝OA－OB＝450(－1)m.
答：大桥的长AB为450(－1)m.
4．解：过点C作CD⊥AB于点D，如图2所示，
图2
设CD＝x，∵∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x.
在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，
∴AD＝＝＝＝x.
由AD＋BD＝AB可得x＋x＝10，
解得x＝5－5.
答：飞机飞行的高度为(5－5)km.
5．解：由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，
∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.
又∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°.
∴∠DBE＝∠BDE.∴BE＝DE.
设EC＝x，则DE＝BE＝2EC＝2x，DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x，
BC＝＝＝x.
由题知，∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60，
∴△ACD为等腰直角三角形．
∴AC＝DC.
∴x＋60＝＝30＋10 .
∴DE＝2x＝60＋20 .
答：塔高约为(60＋20 )m.