专题7-(2).docx

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考情分析　三角形及四边形的计算与证明是每年必考内容，经常与尺规作图、圆、函数等结合考查，偶尔单独考查．主要考查内容为：(1)求角度、线段长度、图形周长及面积、锐角三角函数值；(2)证明线段垂直、相等，三角形全等或相似，图形为特殊三角形或四边形；(3)判断图形形状，线段或角之间的数量关系．
类型三角形
例1　如图1，在△ABD中，∠A＝90°，过点B作BC∥AD，过点C作CE⊥BD于E，AB＝EC.
图1
(1)求证：△ABD≌△ECB；
(2)若AD＝3，AB＝4，求CD的长．
训练 ，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.
图2
(1)求证：AC·CD＝CP·BP；
(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
2．如图3，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H.
图3
(1)求证：△BCE≌△ACD；
(2)求证：FH∥BD.
类型四边形
例2　如图4，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E.
图4
(1)求证：四边形AODE是菱形；
(2)连接BE，⊥ED于点E，求∠AOD的度数．
训练　，在菱形ABCD中，延长BD到E使得BD＝DE，连接AE，延长CD交AE于点F.
图5
(1)求证：AD＝2DF；
(2)如果FD＝2，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB，DC交于点E和点F.
图6
(1)求证：△ADF≌△AB′E；
(2)若AD＝12，DC＝18，求△AEF的面积．
5．在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝CD，点F为DE边上一点，连接AF，作FG⊥AF交直线DC于点G.
(1)如图7，连接AG，若DF＝EF时，判断△AFG的形状，并证明你的结论；
(2)如图8，若DF≠EF时．试探究线段AD，DF，DG三者之间的数量关系，并证明你的结论．

图7 图8
　
参考答案
例1　(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC.
∵∠A＝∠CEB＝90°，AB＝EC，
∴△ABD≌△ECB.
(2)解：由△ABD≌△ECB可知，EC＝AB＝4，BE＝AD＝3，
∴BD＝BC＝＝5.
∴DE＝2.∴CD＝＝2 .
训练　1.(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.
∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，
∴∠BAP＝∠DPC.
∴△ABP∽△PCD.∴＝.
∴AB·CD＝CP·BP.
∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP.
(2)解：∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.
∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.
∵∠B＝∠B，
∴△BAP∽△BCA.∴＝.
∵AB＝10，BC＝12，∴＝.
∴BP＝.
2．证明：(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°.
∴∠BCA＋∠ACE＝∠ECD＋∠ACE，即∠BCE＝∠ACD.
∵BC＝AC，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD.
(2)由(1)知△BCE≌△ACD，则∠CBF＝∠CAH，BC＝AC.
又△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，
∴∠ACH＝180°－∠ACB－∠HCD＝60°＝∠BCF.
∴△BCF≌△ACH.∴CF＝CH.
又∠ACH＝60°，∴△CHF为等边三角形．
∴∠FHC＝∠HCD＝60°.∴FH∥BD.
例2　(1)证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD.
∴OA＝OD，∴四边形AODE是菱形．
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，四边形AODE是菱形，
∴OB＝OD，DE＝OD，即BD＝2DE.
又BE⊥ED，即∠BED＝90°，
∴∠DBE＝30°.∴∠BDE＝60°.
又ED∥AC，
∴∠AOD＝180°－∠BDE＝180°－60°＝120°.
训练　3.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，CD∥AB.
∵BD＝DE，∴EF＝FA.∴DF是△EAB的中位线．
∴AB＝2FD.∴AD＝2DF.
(2)解：如图1，过点D作DM⊥AB，
图1
∵FD＝2，∴AB＝4.∴AD＝4.
∵∠C＝60°，∴∠DAB＝60°.
∴DM＝DA·sin 60°＝2 .
∴S菱形ABCD＝AB·DM＝4×2 ＝8 .
4．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝∠B′＝90°，AD＝CB＝AB′.
∵∠DAF＋∠EAF＝90°，∠B′AE＋∠EAF＝90°，
∴∠DAF＝∠B′AE.
在△ADF和△AB′E中，
∴△ADF≌△AB′E(ASA)．
(2)解：由折叠性质得FA＝FC，
设FA＝FC＝x，则DF＝DC－FC＝18－x，
在Rt△ADF中，AD2＋DF2＝AF2，
∴122＋(18－x)2＝x2，解得x＝13.
∵△ADF≌△AB′E，∴AE＝AF＝13.
∴S△AEF＝·AE·AD＝×12×13＝78.
5．解：(1)△AFG是等腰直角三角形；
证明：如图2，连接CF，
图2
在Rt△CDE中，CE＝CD，DF＝EF，
∴CF＝DF＝EF，∠ECF＝∠CDE＝45°.
∴∠ADF＝∠ADC＋∠CDF＝135°，
∠FCG＝∠GCE＋∠ECF＝135°.
∴∠ADF＝∠GCF.
∵AF⊥FG，CF⊥DE，∴∠AFG＝∠DFC＝90°.
∴∠AFD＝∠GFC.
在△ADF和△GCF中，
∴△ADF≌△GCF(ASA)．
∴AF＝FG.
∵∠AFG＝90°，∴△AFG是等腰直角三角形．
(2)DG＝AD＋DF.
证明：如图3，过点F作FH⊥DE，
图3
由(1)知，∠CDE＝45°，
∴DH＝DF，DF＝HF，∠DHF＝45°.
同(1)的方法得出∠ADF＝∠GHF.
在△ADF和△GHF中，
∴△ADF≌△GHF(AAS)．
∴AD＝GH.∴DG＝DH＋GH＝DF＋AD.