京改版九年级上册20.1锐角三角函数(2)-1教学设计.docx

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课程基本信息
课题
锐角三角函数（2）
教科书
书名：义务教育教科书
出版社：北京出版社 出版日期：2019年7月
教学目标
教学目标：
、正切的概念，在直角三角形中能利用定义表示三角形的两边比；
，探索余弦函数和正切函数的概念，进一步认识函数，体会函数中变化与对应的思想；
，感受数学学科的严谨性，体会获得成功的喜悦.
教学重点：锐角的余弦、正切的概念.
教学难点：运用余弦、正弦的概念进行有关计算.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
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复习回顾
：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，求sin A，sin B的值.
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分钟
探究新知
【问题1】在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A取任意一个确定的值时，除了∠A的对边与斜边之比外，还有哪两条边的比是固定不变的值？
除了∠A的对边与斜边，还剩下一条边AC，我们将其称为∠A的邻边.
还有，
这几种情况，因为有互为倒数的关系，因此我们只研究其中的三个比值，，因此本节课我们主要研究后两种情况.
【推理证明】
类比正弦的证明过程，我们可以利用相似的知识解决.
利用AA相似可以证明三个直角三角形相似，由相似三角形的性质可以得出∠A的邻边比斜边==…，∠A的对边比∠A的邻边==…
我们得出结论，当锐角A取任意一个确定的值时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与∠A的邻边的比是固定不变的值，与三角形的大小无关.
【形成概念】
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我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A ，.与正弦函数类似，cos A 与∠A满足函数的对应关系，因此cos A叫做∠A的余弦函数.
我们把锐角A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A ，.tan A叫做∠A的正切函数.
【实践】根据余弦和正切的定义，你能求出30°，45°和60°角的余弦值和正切值吗？
结合图形可得，
【交流】当0°<sin A<90°时，cos A和tan A的值是如何变化的呢？取值范围是怎样的呢？
A 取值范围探究
（1）猜想：通过三个特殊角的余弦值会发现，∠A的度数由30°到45°到60°越来越大，对应的余弦值越来越小，因此我们猜想∠A变大时，对应的cosA随之变小.
（2）推理证明：
如图，我们仍然可以设斜边的长不变，可以观察到，随着∠A的变大，∠A的邻边长度变小，那么邻边与斜边的比值也变小，即cos A随着∠A的变大而变小.
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由于，斜边是大于直角边的，即分母永远大于分子， A的范围是0<cos A<1.
A 取值范围探究
（1）猜想：通过三个特殊角度发现，∠A的度数变大时，tan A的值也越来越大，因此我们猜想∠A变大时，tan A随之变大.
（2）推理证明：
我们仍然可以类比正弦函数和余弦函数的证明，我们可以令邻边AC保持不变，如图，可以观察到，随着∠A的变大，∠A的对边也在变大，∠A趋近于90°时，对边的长趋于无限长，，tan A的范围为tan A>0.
结论：cos A随∠A的变大而变小，取值范围为0<cos A<1;
tan A随∠A的变大而变大，取值范围为tan A>0.
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新知运用
一、基础应用
，在Rt△ABC中，∠C=90°，请填空.
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，在Rt△ABC中，∠C=90°，求以下各图中∠B的余弦和∠A的正切值.
小小结：当直角三角形给出三边时，只需要结合定义求出各角对应的余弦值和正切值即可，但是一定要找准每个角的对边和邻边.
二、典型例题
【例1】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求cos B和tan A的值.
分析：当直角三角形中已知两边时，可以利用勾股定理求出第三边AB=5，再利用余弦和正切的定义即可求解.
【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求cos B和tan A的值.
分析：已知中给出了∠B的正弦值，根据定义可知，sinB=即已知∠B的对边AC与斜边AB的比值，设AC=3k，AB=5k，由勾股定理可得BC=4k，此时直角三角形的三边用含相同参数的式子表示出来了，再根据定义得，
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小小结：已知两边比值时，我们可以设定参数，利用勾股定理用相同的参数表示直角三角形的第三边，，因此∠A和∠B的正弦、，所有角的正弦、余弦、正切都可以表示出来.
小小结：，一个直接求第三边即可，一个需要用设参法，但相同的地方是都要将第三边表示出来，进而根据定义求值.
【例2】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，，求AB的长.
分析：本题已知了余弦值， A=，将式子写出，已知AC的长，因此直接代入即可求AB的长.
小小结：当我们已知一个角的正弦、余弦或正切时，即知道了两边的比值，如果再给出一条相关的边长时，如正弦的相关边长为对边、斜边，余弦的相关边长为邻边、斜边，正切的相关边长为对边、邻边，此时直接根据定义列出边角关系，代入即可求边长.
当然，=3k，AB=5k，可得3k=6，k=2，AB=10.
小小结：我们的解决过程为根据定义设参，结合已知列方程、解方程，求边长即可.
【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，求AB的长.
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分析：本题已知BC的长和∠A的余弦，即给出了比值和一条不相关的边长，因此无法用直接代入的方法，，设AC=3k，AB=5k，由勾股得BC=4k，结合已知列方程4k=8，最终求得AB=10.
小小结：当已知一个角的正弦、余弦或正切时，即知道了两边比值，如果再已知一条不相关的边长时，我们可以利用设参法解决，根据定义设参，用勾股定理表示第三边，结合已知列方程、解方程，进而可求其他边长.
小小结：结合这两种情况，我们可以得出，一个直角三角形中，只要给出一个角的正弦、余弦或正切值，再给出一条边，，都要牢牢抓住定义，根据定义进行分析.
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课堂小结
，说出你的收获和困惑.
、收获知识和思想方法三方面进行总结.
本节课我们类比上节课正弦的学习，探究了余弦和正切的概念，，，在应用新知的过程中，我们总结出相应的技巧方法，如已知直角三角形两边时，利用勾股定理求出第三边，再结合定义求解即可；已知直角三角形的一边和正弦、余弦或正切时，我们可以求出其他边长；已知直角三角形一个角的正弦、余弦或正切时，可以通过设参的方法，表示出三边，进而可求比值