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高考函数不等式证明的常用方法
高考中的函数不等式证明是数学试卷中的一道重要题型，也是考查学生对函数性质和不等式的理解与运用能力的一种方式。在解答这类题目时，常用的方法包括：图像法、符号法、定义法、推导法、换元法、递推法、数列法等。下面将逐一介绍这些方法并给出具体的例子，帮助考生更好地理解和掌握这些方法。
一、图像法：
利用函数图像的性质进行不等式证明的方法。通常需要利用函数图像的凹凸性、交点位置、极值点等性质进行推导。
例题：证明函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上单调递增。
解：首先绘制函数f(x)=x^2的图像，可以观察到函数图像是关于y轴对称的，并且在x=0处取得极小值0，当x取值在[-1,1]区间时，函数图像递增。
二、符号法：
利用代数运算和不等式性质的变形进行证明的方法。通过变形不等式的形式，可以推导出所需的不等式关系。
例题：证明对任意正整数n，有1+n/1!+n(n-1)/2!+...+n(n-1)...(n-k+1)/k! < e^n (k>0)。
解：根据指数函数的表达式与级数之间的关系，可以得到e^n=1+n/1!+n^2/2!+...+n^k/k!+...，同时可以观察到当k>0时，n(n-1)...(n-k+1)/k!等于e^n项中的一个或多个项。由此可以得到不等式的证明。
三、定义法：
根据函数定义和不等式定义进行证明的方法。根据函数的定义和性质，可以得到所需证明的不等式关系。
例题：证明当x>0时，有x+1/x ≥ 2。
解：由不等式的定义，需要证明的不等式即为x+1/x-2 ≥ 0，将其化简可得(x^2-2x+1)/x ≥ 0，即(x-1)^2/x ≥ 0。由于x>0，所以(x-1)^2/x ≥ 0成立。
四、推导法：
通过递推关系、函数性质的推导进行不等式证明的方法。
例题：证明当x>0时，有x^n+(1/x)^n ≥ 2 (n是整数,n>0)。
解：首先可以假设不等式对于任意n值成立，即有x^n+(1/x)^n ≥ 2。然后利用不等式的性质进行推导，例如可以将左边的不等式展开成多项式，然后化简、整理后发现得到的式子与不等式定义相等，从而证明不等式成立。
五、换元法：
通过将函数中的变量进行换元，进而得到与已知不等式性质相同或类似的不等式进行证明的方法。
例题：证明当0 < x < π/4时，有sin(x) < x < tan(x)。
解：可以令y=sin(x)，则在0 < x < π/4时，0 < y < 1。然后根据sin(x)和tan(x)的性质，可以推导出y < x < y/(√(1-y^2))。由于0 < y < 1，所以 y/(√(1-y^2)) > y，即有y < x < y/(√(1-y^2)) < 1，即sin(x) < x < tan(x)。
六、递推法：
通过递推关系、数列的性质进行不等式证明的方法。基于数学归纳法的思想，通过先证明初始情况成立，然后推导出递推关系成立，从而得到所需证明的不等式。
例题：证明对于任意正整数n，有n^(1/n) < (n+1)^(1/(n+1))。
解：首先可以证明对于n=1时不等式成立。然后假设对于任意n值不等式成立，即有n^(1/n) < (n+1)^(1/(n+1))，然后利用数列的性质，推导出(n+1)^(1/(n+1)) < (n+2)^(1/(n+2))，从而证明不等式成立。
综上所述，高考函数不等式证明中常用的方法有：图像法、符号法、定义法、推导法、换元法、递推法、数列法等。每种方法都有其适用的场景和特点，在应用时需根据实际问题的特点进行选择和灵活运用。通过掌握这些方法，考生可以提高解题的准确性和效率，从而更好地应对高考数学试卷中的函数不等式证明题目。