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宁波大学教师教育学院
第十一章 广义积分
01
无穷限的广义积分
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02
广义积分
无界函数的广义积分
03
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常义积分
04
单击此处添加正文
积分限有限
广义积分的概念与计算
CONTENTS
05
单击此处添加正文
被积函数有界
06
单击此处添加正文
推广
一、无穷限的广义积分
”
01
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引例. 曲线
03
和直线
04
及 x 轴所围成的开口曲
05
边梯形的面积
06
可记作
07
其含义可理解为
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若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
则定义
定义1. 设
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则定义
02
( c 为任意取定的常数 )
03
只要有一个极限不存在 , 就称
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发散 .
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无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.
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并非不定型 ,
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说明: 上述定义中若出现
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它表明该广义积分发散 .
09
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01
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
02
引入记号
思考:
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01
例1. 计算广义积分
02
解:
03
分析:
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原积分发散 !
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注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用
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“偶倍奇零” 的性质,
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否则会出现错误 .
08
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证:当 p =1 时有
当 p ≠ 1 时有
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 .
因此, 当 p >1 时,广义积分收敛 , 其值为
当 p≤1 时,广义积分发散 .
例2. 证明第一类 p 积分
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解:
例3. 计算广义积分
二、无界函数的广义积分
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引例:曲线
所围成的
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积
可记作
其含义可理解为