江苏省无锡市宜兴市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题【含答案】.pdf

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2024 年秋学期宜兴市初中学业水平调研测试 九年级数学
试题
本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为 120
分钟，试卷满分 150 分．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号
填写在答题卡的 相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相
符合．
2．答选择题必须用 2B 铅笔将答题卷上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，
请用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用 毫米黑色墨水签
字笔作答，写在答题卡上各题目指 定区域内相应的位置，在其他位置答题一律
无效．
3．作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．
一、选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共计 30 分．在每小题所给出的四
个选项中，只有一项是正 确的的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂
黑．）
1．下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
A．x+=1 2 B． y x= 2 C． 2 D． 2
x ax -=1 0 2 1x =
2．已知点 P 在半径为 5cm 的圆内，则点 P 到圆心的距离可以是(　　)
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
3．一次数学测试后，随机抽取九年级某班 5 名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关
于这组数据说法错误的是（　　）
A．极差是 20 B．中位数是 91 C．众数是 98 D．平均数是 91
4．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：
今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长
4 尺，竹竿竖着放时比门的高长2 尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线
长、若设门的对角线长为 x 尺，则可列方程为（ ）
试卷第 1 8页，共页 : .
A．(x x x+=+-4)2 2 2( )2 B． x x x2 2 2=-+-( 4) ( 2)
C．(x x x+=-+2) ( )2 2 24 D．(x x x+=++4) ( )2 2 22
5．如图，小程的爸爸用一段 10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（）的矩形鸭舍，
其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC 长为
（ ）
A．5m或6m B． C．5m D．3m
6 2 3
．将抛物线 y x x=+- 2 1向右平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．--4, 1 B．--4, 2 C．2,1 D．2, 2- 
7．如图，小杰从灯杆 AB 的底部点B 处沿水平直线前进到达点 C 处，他在灯光下的影长
CD = 4米，然后他转身按原路返回到点B 处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是
（ ）
A． 米 B． 米 C．5 米 D． 米
8．如图，eO 的周长为4π，正六边形ABCDEF 内接于eO ．则△OAB 的面积为（ ）
3 3
A．1 B． 3 C． D． 3
2 2
试卷第 2 8页，共页 : .
9．如图，在平面直角坐标系中， A0, 2- ，B2,0，C2,2．则VABC 的外心坐标为
（ ）
A．0,0 B．-1,0 C．(−1,1) D．-2,1
10．关于抛物线 y x mx m m=-++-2 22 6（m 是常数），下列结论正确的是（ ）
①若此抛物线与 x 轴只有一个公共点，则m =- 6；
②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则m > 6；
③若点 A m y B m y -+2, , 1,1 2  在抛物线上，则y y1 2< ；
④无论 m 为何值，抛物线的顶点到直线 y x= 的距离都等于3 2．
A．②④ B．①③ C．②③ D．①④
二、填空题（本大题共 8 小题，每题 3 分，共计 24 分．请把答案直接填写在答
题卡相应位置上．）
11．方程 x x2 += 0 的解是 ．
12．关于 x 的一元二次方程x2 +6x+m = 0有两个相等的实数根，则m 的值为 ．
13．写出一个图像过点1,1且其对称轴右侧y 的值随着 x 值增大而减小的二次函数表达式
14．如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为
5cm，母线长为12cm的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 cm2（结果用含π
的式子表示）．
试卷第 3 8页，共页 : .
15．如图，VABC是eO 的内接三角形，若Ð=°OBC 26 ，则Ð=A °．
16．如图，在VABC 中，AB AC== 6 ，以AB 为直径的eO 与AC 相切于点A，交BC 于点
D， 连接OD AD、 ，则图中阴影部分的面积为
17．如图，矩形ABCD的对角线AC 与BD交于点O，DE AC^ 于点E ， 延长DE 与BC 交
于点F ，若AB = 2 ，BC = 3，则点F 到BD的距离为
18．如图，在△ABD 中，Ð=°ABD 30 ，Ð=°A 105 ，将△ABD 沿BD翻折180°得到△CBD，
将线段DC 绕点D 顺时针旋转30°得到线段DF ，点E 为 AB 的中点，连接EF ，ED，则
Ð=ADE °；若EF = 2，则VBED的面积是 ．
试卷第 4 8页，共页 : .
三、解答题（本大题共 10 小题，共计 96 分．解答需写出必要的文字说明或演
算步骤．）
-2
æö1
19．（1）计算 ç÷ -+-8 1 2
èø2
2 2
（2）已知 x x--=4 1 0，求代数式2 3 1 1x x x---+   的值．
20．解方程
2
(1)x+-=2 9 0
(2)2 2 3x x2 - =
21．在VABC 中，Ð=°==C AC BC90 , 6, 8，AD 平分ÐCAB 交 CD 于 点 D，DE AB^ 于
E．
(1)求证：△ACD AED≌△ ；
(2)求CD的长．
22．2024年3月25日是第29 个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范 意识和自
我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动． 为了
解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用 x 表示，单位：
分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：
A ：50 60£<x ；B ：60 70£<x ；C ：70 80£<x ；D：80 90£<x ；E ：90 100££x ． 下面
给出了部分信息：
a：C 组的数据：
70 ，71，71，72，72，72，74 ，74 ，75，76 ，76 ，76 ，78，78，79 ，79 ．
试卷第 5 8页，共页 : .
b ： 不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
(1)随机抽取的八年级学生人数为 ，扇形统计图中B 组对应扇形的圆心角为 度，抽取的
八年级学生竞赛成绩的中位数是 分．
(2)请补全频数分布直方图；
(3)该校八年级共300人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达
到80分及以上的学生人数．
23．某校七年级开设人数相同的 A，B，C 三个班级，甲、乙两位学生是该校七年级新生，
开学初学校对所有七年级新生进行电脑随机分班．
(1)“学生甲分到 A 班”的概率是 ；
(2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生没被分到同一个班的概率．
24．已知：VABC ．
(1)尺规作图：作出VABC 的重心 G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接 AG，BG ．已知VABG的面积等于6cm2，则VABC 的面积是
cm2．
25．如图，以 AD 为直径的eO 与VABC 的边BC 相切于点D，分别与 AB AC、 交于点E 、
F，连接EF DF DE、 、 ．
试卷第 6 8页，共页 : .
(1)求证：VVAEF ACB∽ ；
(2)若 AD = 4，CD = 3，BD = 6，求EF 的长．
26．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价30元，规定销售单价不低于34元，且
不高于42元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为34元时，每天可售出300个，销 售
单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y 个，销售单
价为x 元 ．
(1)直接写出 y 关于x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）；
(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利
润是多少元？
(3)该商户从每天的利润中捐出 200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于1690元，
直接写出销售单价x 的范围为 ．
27．在矩形 ABCD中，点E，F 分别在边 AD ，BC 上，将矩形ABCD沿EF 折叠．

(1)若点 A 的对应点 P 落在边CD上，点B 的对应点为点 G，PG 交BC 于点H．
①如图 1，当 P 为CD的中点，且AB = 2 ，AD = 3时，则GH 的长为 ；
AB
②如图 2，连接BG ，当P，H 分别为CD，BC 的中点时，求的值．
BG
(2)若点 A 的对应点 P 落在边 BC 上，如图3，点 B 的对应点为点 G．当 AB = 2 ，AD = 3时，
则AE 的最小值为 ，BF 的 最 大 值 为 ．
2 3
28．抛物线y ax x c=-+ 与 x 轴交于 A-1 0，，B 两点，与y 轴交于点C0 2，- ， 点 P
2
是第四象限内抛物线上的一点．
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(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图 1，连接PB BC PC、 、 ，设△PBC的面积为S，求 S 的最大值，并求出此时点 P 的
坐标；
(3)如图2，当△PBC的面积最大时，过P 作 PD x^ 轴于点D， 交直线BC 于 点E． 点 F 1 0，，
连接 CF 并延长交直线PD于点M， 点 N 是 x 轴上方抛物线上的一点，x 轴上是否存在一
点 Q，使得以F，M，N，Q 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q 的坐标；
若不存在， 请说明理由．
试卷第 8 8页，共页 : .
1．D
【分析】本题考查的一元二次方程的定义，由题意依据一元二次方程必须满足的四个条件：
未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数．根据这四个条
件对四个选项进行验证即可．
【详解】解：A、方程是分式方程，选项不符合题意；
B、 y x= 2不是一元二次方程，选项不符合题意；
C、ax2 -=1 0，当a = 0，不符合一元二次方程定义．不符合题意．
D、2 1x2 = ，符号一元二次方程的定义，符合题意．
故选：D．
2．A
【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断．
【详解】Q点P 在半径为 5cm 的圆内，
\点 P 到圆心的距离小于 5cm，
所以只有选项 A 符合，选项 B、C、D 都不符合；
故选 A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，
反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．