祖冲之父子与祖暅原理.doc

祖冲之父子与祖暅原理
祖冲之(公元429—500年)是我国南北朝时代的伟大科学家,字文远,范阳郡蓟县(今河北省涞源县)人,祖父曾任朝庭的大匠卿,,亲眼看到祖父的精心设计和工人们的辛勤劳动,幼小的心灵养成爱科学、爱技术、爱机械、爱劳动的习惯,20岁左右,受皇命入当时的最高学府—华林学省学习,结业后任南徐州从事史,后回建康(今南京)任过公府参军,以后做过晏县(今江苏昆山县东北)县令,《九章算术》刘徽注之后,著有《缀述》附在刘徽注的后面,但遗憾的是这部著作已失传了.
祖冲之是天文学家,历学家,文学家、机械学家,,历学家,是因为他创《大明历》;说他是文学家,是因为他著有《述异记》十卷;说他是机械学家,是因为他制造水碓、水磨,1000多年的今天,山区人们还在使用;说他是数学家,是因为他著《缀术》,虽书已失传,但其中对圆周率的研究结果,以为疏率、为密率并求出,《中国数学发展史》中建议称圆周率为“祖率”.
祖暅是祖冲之的儿子,生卒年代不详,,阮元《畴人传》称他为祖暅之,,主要工作是修补编辑他父亲的著述《缀述》,虽然他历官员外郎、,:“缘幂势既同,则积不容异”.其中幂指截面积,势指高,这一原理也可叙述为“两个等高的立体,若平行于底的截面积相等,则体积相等”.但在推算过程中祖暅却应用了“两个等高的主体,若平行于底的截面积成比例,则体积也成比例”更一般的结论,,先看下列三个图形:
图3
图2
图1

图1是球体,“牟合方盖”,用表示“牟合方盖”体积.“牟合方盖”是一个特殊立体,,用表示其体积.
若用平行于底且相距为的平面去截上述三个立体,所得截面面积分别为:
,,.
因为,,
所以,.
但从可推得.
上述推算过程实际上图1起了桥梁作用,亦可从图3和图2直接推出:
因为,得.
所以由就可推得.
祖暅在推算过程所应用的原理,西方叫卡瓦列利原理,因卡氏于公元1635年在《连续不可分量几何》里提出的,“祖氏原理”或“祖暅原理”,并利用原理及推论求椭圆的面积、椭球体的体积和环体体积.
推论1 夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积比总为,那么这两个几何体的体积之比亦为,
推论2 夹在两条平行