大学数学论文.doc

2011届本科毕业论文(设计)

题目:关于数的发展历史
学院:数学科学学院
专业班级:数学与应用数学07-3班
学生姓名:
指导教师:艾合买提江老师
答辩日期:2012年 5 月 6 日
目录
1 引言 3
2 计数法和自然数 3
记数制度 3
自然数 4
3 有理数系 8
8
8
4 实数理论的完善 9
9
实数的发展 10
5 复数的扩张 11
复数的产生 11
复数的历史意义 11
6 结论 12
参考文献 13
致谢 14
关于数的发展历史
摘要:数系理论的历史发展表明,数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步,但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的。希腊人关于无理数的发现暴露出有理数系的缺陷,而实数系的完备性一直要到19世纪才得以完成。负数早在《九章算术》中就已被中国数学家所认识,然而,15世纪的欧洲人仍然不愿意承认负数的意义。“四元数”的发明,打开了通向抽象代数的大门,同时也宣告在保持传统运算定律的意义下,复数是数系扩张的终点。
关键词:记数法;素数;有理数;实数理论;复数扩张
1 引言
数是数学中的基本概念,也是人类文明的重要部分。数的概念的每一次扩展都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用,以及数系理论的完善程度,反映了当时数学发展的水平。现在,我们所应用的数,已经构造的如此完备和缜密,以致于在科学技术和社会生活的一切领域中,它都成为基本的语言和不可或缺的工具。在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时,是否想到在数的形成和发展的历史过程中,人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢?
2 记数法和自然数
记数制度
记数制度或计数法就是记录或表示数目的方法,主要指数字符号的表现形式以及技术工具的使用。
在文字生产之前,人类就已形成数的概念。那时数目是用事物来记录的,如小石子,竹片,树枝,贝壳之类。这些东西容易散乱,自然会想到用结绳的办法来记录。我国《》有“上古结绳而治,后世圣人,易之以书契”的说法。东汉郑玄称:“事大,大结其绳;事小,小结其绳。结之多少,随物众寡”。以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地,如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲载和实物标本。结绳毕竟不甚方便,以后再实物(石,木,骨等)上刻痕以代替结绳,再进一步发展成为文字。
位于西安东郊的半坡村文化遗址(属新石器时代的仰韶文化),距今5,6千年前,人们就发现陶器和陶片上刻着许多标志符号,横,竖,斜,叉河现代汉字想象,有20多种不同的形状;埃及前国王时期(约从5千年前开始)的墓葬和石碑等出项象形文字;两河流域的苏美人创造的楔形文字,也开始于5,6千年前。
现代则用国际通用的印度-阿拉伯数码。但古代有些地区数字和数码是一致的。有了数字和数码,就有一套记数方法,刻痕记数,有多少数刻多少道痕,这是最原始的办法,但数目很大就有困难,自然就想到进位,以p个新单位有组成一个更高的单位,这叫做p进位的基数。现在同行的印度-阿拉伯数码的基数是10,即“逢10 进1,退1当10”,人们已经习以为常,但在历史上曾使用过许多非10的基数,如2,5,6,12,16,20,60等,量角的60进制,至今还在使用。
为什么选择这些数作基数?这是很有趣的问题。5进和10进显然和人类有10个指头有关,这一点亚里士多德(Aristotle,公元前384-前322)早就注意到。他在《问题集》XV卷中指出各种可能的解释,都和毕达哥拉斯学派有关这个学派认为10是一个完美的数,并给它披上神秘的外衣。首先,10是最小的4种类型的数之和:1+2+3+4=10,1既非素数既非合数,2是偶素数,3是奇素数,4是合数,2代表线(两点确定一直线),3代表面,4代表立体。10又是不同天体类型的数目:地球,反地球,日,月,五大行星以及恒星。还可以做其他的解释。亚里士多德最后指出:是否因为每个人都有10个手指?事实上,前集中推测都是不可信的,因为进位的基数不是某些学者的发明或规定,而是人们在长期实践中形成的,而且在毕达哥拉斯以前,早已有10进制,如埃及,中国等。
法国著名数学家拉普拉斯(Laplace,1749 – 1827)曾经写道:用十个记号来表示一切的数,每个记号不但有绝对的值,而且有位置的值,这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想,它今天看来如此简单,以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便,才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位;而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关