直线和椭圆的弦长问题.ppt

直线和椭圆的位置关系
---------弦长问题
问题:怎么判断它们之间的位置关系?
问题:椭圆与直线的位置关系?
相交
相切
相离
判断方法
(1)联立方程组:
(2)消去一个未知数
(3)
∆<0
得:
∆=0
∆>0
方程无解
方程有一解
方程有两解
直线与椭圆没有交点
相离
直线与椭圆有一个交点
直线与椭圆有两个交点
相切
相交
弦长问题:
消去y得:
解:联立方程组:
方程①有两个根
直线与椭圆的位置关系:相交
思:相交所得弦的弦长是多少?
①
弦长公式:
设直线与椭圆相交于
两点,
直线AB的斜率为K.
适合求任何二次曲线与直线的弦长
思考:直线k不存在应怎样求解呢?
可由韦达定理得
其中
直线与圆的相交弦的弦长:
(d为圆心到直线的距离)
例1:
求椭圆
与直线
相交弦长
弦长
解:联立方程组:
例2:
已知斜率为1的直线L过椭圆
的右焦点交椭圆于A,B两点,求AB的长.
解:
令A,B坐标分别为
由椭圆方程知:
直线L方程为:
联立方程组:
总结:
①联立方程组
②消去其中一个未知数得一元二次方程
③韦达定理
④弦长公式
总结:
求弦长的方法:
[1]两点间距离公式:
注:对于平行于坐标轴的直线与椭圆相交产生的弦长,由于交点坐标非常好解,故用两点间距离公式就可以求弦长。
[2]焦半径公式:
过左焦点
的弦长:
过右焦点
的弦长:
注:应用焦半径公式求弦长,是把弦长看作同一焦点的两个焦半径之和。使用焦半径公式时,注意左、右焦点的公式不同。
注:此公式是由:直线斜率 k、弦的端点横坐标 x1 、x2 来求出弦长的。故,在给出直线方程时(既:已知 k),基本都使用这个公式。
[3] 弦长公式:
例3:
已知点
分别是椭圆
的左、右
焦点,过
作倾斜角为
的直线,求
的面积
用三种方式求解AB