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行列式的计算方法
摘要:,任何一个行列式都可以按照定义进行计算,,“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径.
关键词: 行列式计算方法
行列式是研究某些数的“有规”, ,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法.

对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种,记忆起来很方便,但它只适用于二阶和三阶行列式,四阶及以上的行列式就不能采用此方法.

根据行列式定义可知,如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于个) ,可以直接利用行列式的定义求解,或者行列式的阶数比较低(一般是阶或者阶) .如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律,如上(下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解.
例1 计算行列式
这是一个四级行列式,,
.
显然,如果,那么,;同理,只需考虑,,,行列式中不为零的项只有这一项,而,这一项前面的符号应该是正的.
所以
原式=

例2 计算行列式
解:

这个例子尽管简单, 但化三角形这一方法, 在计算行列式中占有十分重要的地位,而化为三角形的方法又有很多种, 下面介绍的1、2、3、4这三种都可以作为化三角形的几种手段, 当然它们除化为三角形外, 还有其它的作用.
(或列)加减同一行(或列)的倍数
适用于加减后某一行(列)诸元素有公共因子或者三角形的情形
例3 计算行列式
解:当时,各列减去第一列
得:

之所以等于零,是因为有两列成比例.
另外,当时,

这个例子还附带说明, 有时题目并没有指定级数, 而行列式之值与级数有关时, 还需进行讨论说明.
(或列)加到同一行(或列)上去
适用于各列(行)诸元素之和相等的情况.
例4 计算行列式

解:把所有各列都加到第一列上去,
得:
逐行(或列)相加减
有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。这样就使得行列式计算变得简便的多.
例5 计算行列式
解:从第一列开始,每列乘以2加到后一列,
得:
再将最后一行乘以(-2),加到倒数第二行,其余行都不变,得:
按最后一列展开,得

行(列)归一法
先把某一行(列)全部化为1,再利用该行(列)以及行列式的性质将原行列式化为三角形行列式,从而求出行列式的值.
例6 计算阶行列式
解:它的特点是各列元素之和为,因此把各行都加到第一行,然后第一行再提出,得
将第一行乘分别加到其余各行,化为三角形行列式,则

爪型行列式
形如:
的行列式,“横线”或“竖线”,化为三角形行列式再计算.
例7 计算行列式
解当时,将第i+1列乘以后都加到第1列,得三角型行列式:
例8 计算行列式
分析:一般除主对角线上的元素,其余元素全部相同的行列式都可以化为爪型行列式,利用例6结论计算其值.
解
D

三对角线型行列式
形如:的阶行列式,是指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一条次对角线上元素不全为零而其余元素全为零的行列式, ,然后变形进行两次递推,或利用第二数学归纳法证明.
例9 计算阶行列式
解按第一行展开得
变形由于
,
从而利用上述递推公式得
故有
例10 证明
解按第行展开得
采用第二数学归纳法证明
时,,,,有
故有归纳假设知
Hessenberg型行列式
形如:
的行列式,即除一对角线及其相邻的一直线和最边上的一行或一列这三条直线外, 其余元素全为零的三线型行列式,,也可利用行列式性质化简并降阶.
例11 计算阶行列式
解按第一列展开得
于是