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难点23 求圆锥曲线方程
求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法.
●难点磁场
1.(★★★★★)双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2,P为双曲线上一点,|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则b2=_________.
2.(★★★★)如图,设圆P满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长比为3∶1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.
●案例探究
[例1]某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分,绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点,已知AA′=14 ′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.
(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.
(2)求冷却塔的容积(精确到10 m2,塔壁厚度不计,).
命题意图:本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识,考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力,属★★★★★级题目.
知识依托:待定系数法求曲线方程;点在曲线上,点的坐标适合方程;积分法求体积.
错解分析:建立恰当的坐标系是解决本题的关键,积分求容积是本题的重点.
技巧与方法:本题第一问是待定系数法求曲线方程,第二问是积分法求体积.
解:如图,建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上,AA′′与BB′平行于x轴.
设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则a=AA′=7
又设B(11,y1),C(9,x2)因为点B、C在双曲线上,所以有
由题意,知y2-y1=20,由以上三式得:y1=-12,y2=8,b=7
故双曲线方程为=1.
(2)由双曲线方程,得x2=y2+49
设冷却塔的容积为V(m3),则V=π,经计算,得V=×103(m3)
答:×103m3.
[例2]过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,直线y=x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程.
命题意图:本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新颖,基础性强,属★★★★★级题目.
知识依托:待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题,对称问题.
错解分析:.
技巧与方法:本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程,,用韦达定理.
解法一:由e=,得,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12-x22)+2(y12-y22)=0,