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来稿日期:2010-4-20 e-mail: **********@ 适合栏目:案例评说
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巧构发散点让学生的思维之花绽放
——一次作业讲评课的教改尝试
唐玉琴(江苏省扬州市第一中学 225000)高建国(江苏省扬州大学附属中学 225002)
学完导数一章后,准备上一次作业讲评课,旨在订正学生在此阶段中作业出现的问题,,我发现:学生对函数的零点个数、极值情况、图像特征等问题不太熟悉,是就题发挥,还是另辟蹊径?慎重考虑后,,尝试借助对三次函数图像与性质的研究,来打通学生对上述问题认识的瓶颈.
,激活思维
问题1:前面学习了导数的基本概念及简单应用,这节课我们以三次函数为模型来做一个总结,?



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图2
x
O
y
图3
x
y
图1
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学生动笔画草图,老师巡视,找出有代表性的图形,请学生画在黑板上,如下图(图1—图6):
图6
y
x
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y
O
x
图5
y
x
图4
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问题2:除了上述图形,还能画出更有“个性”的图像吗?
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图9
x
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图7
x
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以下(图7—图9)是部分学生自告奋勇到黑板上画的图像.
y
x
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图8
问题3:针对上面9个图,谈谈你的看法.
生1:图7不可能是三次函数图像,根据函数概念,对一个自变量只能有一个与之对应,图7中当时,有3个值与之对应,因此该图不可能是函数图像.
师:讲的非常好,画函数的图像,首先应满足函数的定义.
生2:我觉得剩下来的8个图也大同小异,可以再适当分组归类一下.
师:我也有同感,能不能结合图像的代数特征对上述图形进行分类汇总呢?
,发展思维
生3:可以分两类:一类是,如图1、2、4、5、9,当,,对应的图像会无限升高,反之,则无限降低;另一类是,图像特征与的情况相反.
师:确实如此,因为在三次函数的解析式中,对函数值起决定作用的是项,系数决定了函数图像是先“上天”还是先“入地”,这一特征与二次项系数决定二次函数的开口方向类似.
生4:还可以这样分:一类是严格单调函数,、5、6;另一类是非单调函数,其导函数对应的方程有两个不同的解.
师:这是一个不错的角度,它借鉴了我们新学的导数内容对三次函数进行了分类,一般地,我们可以得到如下结论:
当时,三次函数在上是单调函数;当时,三次函数在上有三个单调区间.
师:上述分类方法也可看成是按极值点的个数进行分类,还有别的分类方法吗?
生5:可以按照函数的零点个数分类:一类是仅有一个零点,如图1、2、3、5、6;一类是有两个零点,如图8、9;还有一类是有三个零点,如图4.
师:非常新颖!下面请大家按照零点个数的可能情况,将各类别图像的代数特征表示出来.
让学生充分交流讨论后共同归纳,得出以下结论:
(1)当时或当时,三次函数有且仅有一个零点.
(2)当时, 三次函数有且仅有两个零点.
(3)当时, 三次函数有且仅有三个零点.
生6:老师,我是这样分的:按照图像是否是中心