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数列复习提纲
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要点归纳

(1)定义:按照一定顺序排列着的一列数.
(2)表示方法:列表法、图象法、通项公式法和递推公式法.
(3)分类:按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列;按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列.

1. 由Sn与an的关系求an (或Sn)
已知数列{an}的前n项和Sn,则an=注意:一定不要忘记对n取值的讨论!最后,还应检验当n=1的情况是否符合当n2的关系式,从而决定能否将其合并。

已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、构造法求解.
(1)当出现an=an-1+f(n)时,用累加法求解;
(2)当出现=f(n)时,用累乘法求解;
(3)当出现an+1=pan+q时,将an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+t)=p(an+t)的形式,构成新的等比数列,其中t=.
、等比数列的判断方法
(1)定义法:an+1-an=d(常数)⇔{an}是等差数列;=q(q为常数,q≠0)⇔{an}是等比数列.
(2)中项公式法:2an+1=an+an+2⇔{an}是等差数列;a=an·an+2(an≠0)⇔{an}是等比数列.
3)通项公式法:(a,b为常数)为等差数列;an=c·qn(c,q为非零常数)⇔{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:(A,B为常数)为等差数列。;Sn=aqn-a(a,q为常数,且a≠0,q≠0,q≠1,n∈N*)⇔{an}是等比数列.
后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列,主要适合在选择题中简单判断.
、等比数列的性质

已知数列{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和.
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),
则有am+an=ap+aq.
(2)等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差为md的等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)当项数为偶数时,则;;.
当项数为奇数时, ; ;S奇-S偶=a中(中间项). 。

已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则有ak·al=am·an.
(2)等比数列{an}的单调性:
当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列;
当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列;
当q=1时,数列{an}是常数列.
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm.
(4)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{a},{an·bn},仍是等比数列.
(5)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.

(1)公式法:利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式;
(2)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
(3)裂项(相消)法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.
常见的裂项公式
①=-.
②=.
③=-.
(4)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
(5)倒序相加:例如,等差数列前n项和公式的推导.
(6)并项求和法
一个数列的前n项和中,可两两结合求解,=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.
题型一方程的思想解数列问题
在等差数列和等比数列中,通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量:a1,an,n,d(或q),Sn,其中首项a1和公差 d(或公比q)为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换 成关于a1,an,n,d(或q),Sn的方程组,通过方程的思想解出需要的量.
例1 设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知
S7=21,S15=-75,Tn为数列{}的前n项和,求Tn的最大值.
解设等差数列{an}的公差为d,则
Sn=na1+n