ch5结构可靠度计算的蒙特卡罗法
蒙特卡罗法是随机模拟法的代名词,用这种方法计算结构可靠指标的基本思想是:对于设计阶段的结构,其功能函数及所包含变量的统计特征都是已知的,通过某种方法,根据已知的概率特性(统计特征),产生大量设计变量的样本值,将其代入功能函数,“计算”结构的状态,并对计算结果进行分析统计,直接计算其失效概率。
当然,样本的统计特征应与已知值一致。
统计时以为失效。
一般地说,随机地对每个随机变量进行抽样,以得到一个样本值,然后对是否出现功能函数进行检查,如果超过了极限状态,则认为结构或构件已经“失效”了。
针对具体问题,首先选定所需试验次数,然后进行随机抽样并记录试验结果,最后统计超越极限状态的试验次数。
蒙特卡罗原本是摩纳哥国的一个城市,该市有赌城之称。赌是一种不确定性行为,具有概率的特性,本质上是一种随机实验。
,由于研究涉及秘密工作(原子弹的研制),将所使用的随机模拟方法称为蒙特卡罗法。
利用随机模拟方法研究结构安全问题是一种很自然的方法,因为结构建造和使用本身就是一个随机实验。
在结构设计阶段,由于设计变量存在着不确定性,其具体的量值是未知的,只能通过对以往实验、实测和调查资料的统计分析,从概率角度来推断结构未来的性状;
在结构建成并使用到设计规定期后,设计中所用的变量都成了规定值,结构的最终状态也完全得以确定(完好或失效)。
所以结构从建造到使用期内的表现,就是对所设计结构的一次随机实验结果。
从数学的角度描述为:
: , ,…,
,计算功能函数的值Z:
(抽样),则失效概率可由下式近似给出:
显而易见,在蒙特卡罗法中,失效概率就是结构失效次数占总试验次数的比例,这就是该方法的基本出发点。
用蒙特卡罗法表示的失效概率也可用一个示性函数表示:
关于(0-1)分布:如果随机变量x只能取两个值0和1,它的分布律(离散型随机变量)是:
则称x服从(0-1)分布。
优点:回避了结构可靠度分析中的数学困难,不需要考虑极限状态曲面的复杂性。
缺点:计算工作量大(借助于计算机)
现状:不作为一种常规的结构可靠度分析方法来使用,只是用于一些复杂情况的可靠度分析(国防、航天领域)。
如何随机抽样?如何保证样本与实际情况大体相符合?抽样模拟多少次?
当选取95%的置信度来保证蒙特卡罗法的抽样误差时,有
以相对误差来表示,有
则上式可以近似表示为:
工程结构的失效概率是一个小量,可见, N足够大时才能给出正确的估计。
估计失效概率的方差:
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