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洛阳师范学院本科毕业论文答辩
积分上限函数的性质及应用
2013年5月16日
论文提纲
研究现状及意义
研究内容
有关的修订
小结与不足
研究现状及意义
积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数,是一元函数微分学的基本概念。在数学分析课程中起着重要作用。该函数的性质及其应用,在一般的分析教材中,涉及较少,但其重要性不可忽略。
积分上限函数是沟通微分学与积分学的桥梁。在积分学中,为证明原函数存在定理及牛顿—莱布尼茨公式,引进了积分上限函数。它一方面肯定了连续函数的原函数是存在的,另一方面揭示了定积分与被积函数的原函数之间的联系,从而能通过被积函数的原函数使一些问题简单化。积分上限函数提供了一种解题的新方法。
研究内容
积分上限函数的定义
积分上限函数的性质
积分上限函数的应用
研究内容——性质








连续性:
定理 1 若在上可积,则在上连续.
若在上连续,则也在上连续.
可导性:
定理若在区间上连续,常数,则积分上限函数
在区间上处处可导,且, .
.
定理设在区间上连续, , 在上可导,(当
时, 且),则复合函数在
上可导,且.
极限:
定理 4若在区间上连续, .则对于任意
, .
有界性:
定理5 若函数在上可积,则积分上限函数在上有界.
单调性:
定理6(1)若在上连续且非负,则积分上限函数在上单调递增;
(2)若在上连续且非正,则积分上限函数在上单调递减.
奇偶性:
定理7 若函数在对称区间或上连续,
(1)当为奇函数时,则积分上限函数为偶函数;
(2)当为偶函数时,则积分上限函数(这里下限)为奇函数.
连续的奇函数,则其原函数的全体皆为偶函数;
连续的偶函数,则其原函数之一为奇函数.
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周期性:
定理8 若是连续且周期为的周期函数,则积分上限函数
是周期函数,或是一线性函数与一周期函数之和.
凸凹性:
定理9 设在上连续且单调递增(递减),则对,
积分限函数是凸函数(凹函数).
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研究内容——应用



﹑极值问题
(不)等式中的应用

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