第三节 泰勒公式.ppt.ppt

第三节泰勒公式
一、泰勒公式的建立
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式的建立

根据函数的微分, 有
f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+o(x-x0)(当|x-x0|很小时),
略掉o(x-x0), 得到求f(x)的近似公式
f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0)(当|x-x0|很小时),
其误差为
R(x)=f(x)-f(x0)-f (x0)(x-x0).
近似公式的不足: 精确度不高, 误差难于估计.
为了达到一定的精确度要求, 可考虑用n次多项式Pn(x)来近似表达f(x).

设函数f(x)在含x0的开区间内具有直到(n1)阶导数, 我们希望找出一个关于(xx0)的n次多项式
Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n
来近似表达f(x). 我们自然希望Pn(x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等:
f(x0)Pn(x0), f (x0)=Pn(x0),
f (x0)Pn(x0), f (x0)Pn(x0),
,
f (n)(x0)Pn(n)(x0).
故
令
则
3. 余项估计
令
(称为余项) ,
则有
公式①称为的 n 阶泰勒公式.
公式②称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项.
泰勒中值定理:
阶的导数,
时, 有
①
其中
②
则当
公式③称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项.
在不需要余项的精确表达式时, 泰勒公式可写为
注意到
③
④
* 可以证明:
④式成立
特例:
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
给出拉格朗日中值定理
可见
误差
称为麦克劳林( Maclaurin )公式.
则有
在泰勒公式中若取
则有误差估计式
若在公式成立的区间上
由此得近似公式