一. 矩阵的特征与特征向量
线性代数
二. 矩阵相似对角化
(一)、矩阵相似的概念
(二)、矩阵相似对角形
(三)、小结
(四)、思考与练习
一. 相似矩阵的概念
定义:
设都是阶矩阵,若存在可逆矩阵,使得
则称矩阵是矩阵的相似矩阵,
对进行运算称为对进行相似变换,
可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵。
或称矩阵与矩阵相似,记作
注:1 矩阵相似是一种等价关系
(1)反身性:
(2)对称性:若则
(3)传递性:若则
分析: ,则存在可逆矩阵,使
, 则与相似( 为正整数).
,
,则
其中是任意常数.
分析:
定理1: 阶方阵相似,则有
注: 满足(1),(2),(3)时A和B不一定相似.
推论:若矩阵与对角阵相似,
则是的个特征值。
和的特征多项式相同,即
从而和
的特征值相同.
例1:设矩阵与相似,
求
.
解: 利用
得到方程
,
再利用
得到
利用对角矩阵计算矩阵的方幂
若
则
k个
的多项式
特别地,若可逆矩阵,使
为对角矩阵,则
对于对角矩阵,有
二. 矩阵相似对角形
对阶方阵,如果可以找到可逆矩阵,
使得为对角阵,就称为把方阵对角化。
定义:
定理2: 阶矩阵可对角化(与对角阵相似)
有个线性无关的特征向量。
(逆命题不成立)
推论1 :若阶方阵有个互不相同的特征值,
则可对角化。(与对角阵相似)
说明:如果的特征方程有重根,此时不一定有个线性
无关的特征向量,从而矩阵不一定能对角化.
推论2: 阶方阵相似于对角阵的充要条件是的
每一个
重特征值对应个线性无关的特征向量.
特征值与矩阵的相似对角化(修改) 来自淘豆网m.daumloan.com转载请标明出处.
