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变换群与几何学
一、射影仿射平面
1、射影仿射平面
定义. 在射影平面上, 指定一条直线作为无穷远直线, 记作l, 并约定对于某取定的射影坐标系, l的方程为x3=0,这样的射影平面称为射影仿射平面, 并称指定的l为该射影仿射平面上的绝对形.
注据定义, 射影仿射平面上的射影坐标系必须总以l为坐标三点形的边x3=0, 称为射影仿射坐标系.
2、射影仿射变换与仿射变换
定义. 在射影仿射平面上, 保持无穷远直线不变的射影变换称为射影仿射变换.
定理. 射影变换
成为射影仿射变换a31=a32=0.
即射影仿射变换形如
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射影仿射变换作用于射影仿射平面.
将(3)式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式)得
即为仿射变换, 仿射变换作用于仿射平面.
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3、射影相似变换与相似变换
定义. 在射影仿射平面上, 称无穷远点I(1,i,0), J(1,i,0)为圆点.
定理. 射影仿射变换(3)成为射影相似变换在(3)中有a22=a11且a21=  a12;或者a22=  a11且a21=a12. 射影相似变换的变换式为
定义. 在射影仿射平面上, 保持圆点不变的射影仿射变换称为射影相似变换.
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或者
注上面两式中的有穷远部分(非齐次形式)即为相似变换.
定义. 在射影仿射平面上, 称无穷远直线上以两点I(1,i,0), J(1,i,0)为不变元素的椭圆型对合为射影仿射平面上的绝对对合. 称经过I, J两点之一的虚直线为迷向直线.
推论. 射影相似变换保持平面上的绝对对合不变.
注射影相似变换保持直线的垂直性不变, 从而保持两(通常)直线的夹角不变, 保持任意两线段的比值不变.
注射影仿射平面上以任一通常点为束心的线束中有一个绝对对合, 以两条迷向直线为不变直线, 其任一对对应直线相互垂直.
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二、群与变换群
定义(代数运算)设A, B, C为集合, 为AB到C的一个对应. 则称为AB到C的一个代数运算.
特别地, 若B=C=A, 则称为集合A上的一个代数运算.
定义了代数运算的集合称为代数系统, 代数学就是研究代数系统的科学.
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比如, 实数集R上的加(减)法、乘法都是R上的代数运算.
比如, 对于数域F上的向量空间V, 数乘向量是FV到V的一个代数运算.
比如, 矩阵的乘法是所有矩阵的集合上的代数运算.
比如, sinx不是R上的一个代数运算,
而sinxcosy是R上的一个代数运算.
定义. (群)设G为非空集合. 在G上定义一个代数运算, 称为乘法. 如果满足下述4条公理, 则称G对于这个乘法构成一个群, 记作G.
(1) 封闭性. a, bG, 有abG.
(2) 乘法满足结合律. 即a, b, cG, 有a(bc)=(ab)c.
(3) 存在单位元. 即eG, 使得aG, 有be=ea=a.
(4) 存在逆元. 即aG, a1G, 满足aa1=a1a=e.
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定义. (子群)设G为群, H为G的一个非空子集, 若H对于G上的乘法也构成群, 则称H为G的一个子群.
定理. 群G的一个非空子集H为G的子群H满足下述条件.
(1) a, bH, 有abH.
(2) 若aH, 则必有a1H.
定义. (群的同构)两个群G, G'之间的一个能够保持乘法运算的双射称为G与G′之间的一个同构.
如果群G与G′之间存在一个同构映射, 则称G同构于G′, 记作GG′.
定理. 非空集合S上全体一一变换的集合对于变换的乘法构成群. 称为集合S上的全变换群.
定理. 非空集合S上部分一一变换的集合G对于变换的乘法构成群(全变换群的子群)
(1) 若g1, g2G, 则g1g2G.
(2) 若gG, 则g–1G.
定义. 集合S上全变换群的任一子群称为S上的一个变换群.
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三、平面上的几个变换群
P={平面上全体射影变换}
PA={平面上全体射影仿射变换}
PO={平面上全体射影正交变换}
A={平面上全体仿射变换}
O={平面上全体正交变换}
射影平面
仿射平面
射影变换群P
射影仿射变换群PA
射影正交变换群PO
仿射变换群A
正交变换群O
上述7个变换群之间显然有下列关系:
在射影平面PR2上
在仿射平面A2\l上
PS={平面上全体射影相似变换}
射影相似变换群PS
S={平面上全体相似变换}
相似变换群S
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