结构振动理论第二讲.ppt

自由度:用来描述振动系统运动状态的最少位移(坐标)数目。
自由振动:系统受初始扰动(初始位移与初始速度)后,仅靠弹性恢复力维持的振动。
若不计阻尼,系统的自由振动是等幅的简谐振动,它是振动的一种最基本的形态,简称谐振动。
第二章单自由度系统自由振动
若考虑阻尼时,振动系统的运动可能呈现两种形式,振动与非振动;只有阻尼低于临界阻尼时,系统才会发生自由振动;有阻尼自由振动的振幅是按指数规律衰减。
单自由度系统自由振动
3/11/2018
单自由度系统自由振动
单自由度系统自由振动
通解 x=Bsinpt+Dcospt
振动方程:(1建立坐标系,2受力分析,3牛顿第二定律建立平衡方程)
二阶常系数线性齐次常微分方程
假定初始条件:
可得自由振动响应公式:
记:
m
无阻尼单自由度系统
x0
k
m
x
o
简谐振动的三要素:振幅、频率、相位(初相角)
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自由振动的特征方程
单自由度无阻尼系统的自由振动微分方程为:
该方程的解结构为
, 代入上式有
这个以s为变量的代数方程
称为原微分方程的特征方程。
显然该特征方程的解为
即为系统的固有圆频率,固有频率为
单自由度系统自由振动
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根据以上特征根,就可以得到原方程的2个特征解
及
由此可以构造微分方程的通解为
利用欧拉公式:
同样可以得到如下结构的通解:
同理利用初始条件可以得到用三角正弦函数表示的解:
单自由度系统自由振动
式中X1 ,X2为任意常数,因x为实数,故X1, X2必为共轭复数
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称为固有振动圆频率(单位:弧度/秒 rad/s)
自由振动响应:
振幅初相角
谐振动重复一次所需的时间,称为固有周期(单位:秒 s)
固有频率:单位时间内振动重复的次数(单位:赫兹 Hz)
单自由度系统自由振动
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单自由度系统自由振动
简谐振动的三要素:振幅、频率、相位
固有频率:自由振动的频率仅决定于系统惯性与弹性,是系统的固有振动特性
常力对振动方程的影响
静变形
当以质量的静平衡位置为原点时,可以不考虑常力和由其产生的弹簧静变形的影响。常力对系统的固有振动特性没有影响。
以静平衡位置为坐标原点
F
x
k
m
X
o
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单自由度系统自由振动
能量法
无阻尼系统自由振动中任一时刻的机械能为常值,机械能守恒。
无阻尼系统的机械能
说明无阻尼系统的机械能在振动过程中不耗散,为一常数。
t
x(t)
A
-A
0
T
初位移
振动响应图示
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由机械能守恒,有如下两个应用:
由
1、求出运动方程:
由
2、求固有频率
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假设
则
因此有
有常力作用的机械能:
得
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单自由度系统自由振动
例题:
下图所示的是用于测定低频振动振幅的传感器中的一个元件(无定向摆)。刚杆OA长为l铰支在O点, A端固定一小球,重为W。靠刚度系数为k的弹簧支撑在铅垂面内,弹簧离O点的距离是a。求摆在铅垂面内维持稳定的微幅振动的条件和它的固有频率。略去刚杆和弹簧的质量。
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解: 这是一个单自由度系统,取摆振角
来描述系统位移形态。
小球的速度是
则它的动能是:
小球下降的距离是
依小幅振动假设,弹簧伸长量是
则系统的势能是
总机械能是
有振动微分方程:
于是系统的固有频率是
系统的固有频率才是实数,这就是稳定振动的条件。
单自由度系统自由振动
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