圆锥曲线轨迹问题例析.doc

圆锥曲线中的轨迹问题例析
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有关动点的轨迹问题是解析几何中的一类重要的问题,求动点的轨迹和圆锥曲线的定义、、代入法、参数法、交轨法、,再选择好相应的解题策略和具体方法.
例1 已知圆E的方程为(x-1)2 + y2 = 1, 四边形PABQ为该圆的内接梯形,底AB为圆的直径且在x 轴上,以A、B为焦点的椭圆C过P、Q两点.
(1) 若直线QP与椭圆C的右准线相交于点M,求点M的轨迹;
(2) 当梯形PABQ周长最大时,求椭圆C的方程.
解(1) 设椭圆C:b2(x-1)2 + a2y2 = a2 b2 (a >b >0),由题意知 2c = 2, 故 c = 1,
如图9-9,从而可得右准线的方程 x = a2 +1, ……………………………………………………………①
设 M(x, y),P(x0, y0),连PB,则有| PA| 2 + |PB| 2 = |AB| 2,
∴( | PA| + | PB| )2- 2| PA|·|PB| = 4,由此可得(2a)2- 2·2 | yP | = 4,即 yP = ±(a2-1),………………②
于是,由①②得 y =±(x- 2).
又∵点P(x0, y0)是圆E上的点,且不与AB重合,
∴ 0 < |y0| < 1,故有 0 < a2- 1< 1 , 即 1 < a2 < 2……………………………………………………………③
由①③得 2 < x < 3,∴点M的轨迹是两条线段,其方程为 y =±(x-2) (2 < x < 3).
(2) 设∠ABQ =θ,∵点Q在P点左侧,∴θ∈(45o, 90o),
又|AB| = 2, 于是,由图9-9可得| PA| = |BQ| = 2cosθ, |PQ| = |AB|-2|BQ|cosθ= 2- 4cos2θ,
∴周长 L= (2-4cos2θ) + 4cosθ+ 2.
y
x
A
P
Q
B
O
当时,周长L取最大值5.
此时|BQ| = 1, |AQ| =,2a = |BQ| +|AQ| =1+,
∴, ,
图9-9
故所求椭圆的方程为.
点评这是“参数法”(1),不仅要对每个条件认真考查,而且还要观察图形在其范围内能否画得出.(2)要使周长最长也要寻找一个参数,将所涉及到的边都用它来表出是解题的基本思想.
例2 已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2,其中F1又是抛物线 y2 = 4 x的一个焦点,且点A(-1, 2),B(3, 2)在双曲线上.
(1)求点F2的轨迹;
(2)是否存在直线y = x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点,若存在,求出实数m的值,若不存在,说明理由.
解(1) 由题意知F1(1, 0),设F2(x , y),则| |AF1|-|AF2| | = | |BF1|-|BF2| | = 2a > 0.……………………………①
∵ A(-1, 2),B(3, 2