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第一章函数与极限
第一节函数
Example


Definition 1. 设给定实数集合,若存在一对应法则,,唯一的实数与之对应。则称是定义在上的函数,记为:
或
也可记为:,.
──定义域,──自变量,──因变量
f(x)={y=f(x)|x}称f(x)为f的值域
函数的两个重要因素:
对应法则;
定义域.
Example1 取整函数
f(x)=[x] 不超过x的最大整数.
f(x)= (x)=x-[x] 小数部分函数.
函数的图形(平面上)
{(x, f(x)|x}
注意: 整数部分函数和小数函数的连续(单调性和周期性)
Example2 |x|
Example3 Dirichlet函数
D(x)=
sgn(x)=
函数的特性
1 奇偶性
定义域X是关于原点对称
f(-x)= - f(x) 奇 f(x)=x 和f(x)=sin (x)
f(-x)= f(x) 偶 f(x)=cos(x)和f(x)=x
2 单调性
, 有 f()f() 单调
f(x)=x f(x)=x
3 周期性
Def ,对有
f(x+T)= f(x) T是周期
y=sin(x) T
D(x)
4有界性
Def ,对有

Def’且对有

Def(无界的定义) 使得

Exa

第二节初等函数
复合函数
Def 1
则是定义在X上的函数,称为与的复合函数。

Def 有唯一的使得习惯为自变量

命题2 严格递增(减)的函数必有反函数,且其反函数也是严格递增(减)的。
证明: 设在上严格递增。要证在上也严格递增。
(反证法)如果不然, 但
这时有
得证

基本初等函数
常值函数

指数函数


, 其中≠0。


第三节数列的极限
1 极限问题的提出
(Newton)
然后令,先,后。
(Cauchy)
§2 数列的极限
,记为。。
也称为数列的通项。
Exa。,

极限的概念
. ,当n无限大时,无限接近于0。因而的极限为0。
.
.
.
.
,n是一实数,若对于(充要)N>0,当n>N时,都有
|-|<
则称收敛即它的极限为,记为。
几何意义:

- +
外面仅有有限项。
(无穷小量是指一个极限概念,趋向常数0)
命题1. 的极限为n <=> 是无穷小量.
: .
证明:,要使|-0|<<.
只要,取N=
则当n>N时,有
|-0|=≤<
||<1,证明.
||n=
>0,证明.
证明:a≥1, .
.
.
,,则
(1) ;
(2) ;
(3) .
Th2.(有界性)设,则有界.
证明: 对时,
|-|<1
-1<<+1
||≤||+1
取M=max{1+||,||,||,…, ||}>0,
则||≤M, n=1,2,…
,则发散.
定理3(保号性):若,则N,当n>N时,有。
证明:由,取,N
当n>N时, |-|<
>-=>0 0
推论2:设,
若,N,当n>N时,有;
若,N,当n>N时,有。
定理1的证明:
1. 。
定理4:若{}是无穷小量,{}是有界数列,则{+}是无穷小量。
. 。
. 。
定理5(保序性):若,,N,当n>N时, 。
Th6.(极限不等式)
且则
Th7. (夹逼性):

=>
Ex13 其中A>B>0 求证

…



第四节函数的极限
一、极限的定义
1、在点的极限
1)可在函数的定义域内,也可不在,不涉及在有没有定义,以及函数值的大小。只要满足:存在某个使:。
2)如果自变量趋于时,相应的函数值有一个总趋势-----以某个实数为极限,则记为:。
形式定义为:

注:左、右极限。单侧极限、极限的关系
2、的极限
设:如果当时函数值有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近线-----则称函数在无限远点有极限。记为:
在无穷远点的左右极限:

关系为:
二、函数极限的性质
极限的唯一性
函数极限的局部有界性
函数极限的局部保号性
函