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去绝对值符号的几种常用方法
解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
利用定义法去掉绝对值符号
根据实数含绝对值的意义,即||=,有||<;||>
利用不等式的性质去掉绝对值符号
利用不等式的性质转化||<或||>(>0)来解,如||>(>0)可为>或<-;||<可化为-<+<,再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解,也可利用结论“≤||≤≤≤或-≤≤-”来求解,这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
利用平方法去掉绝对值符号
对于两边都含有“单项”绝对值的不等式,利用||=可在两边脱去绝对值符号来解,这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷,解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数,需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数(式)时,才可以直接用两边平方去掉绝对值,尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
利用零点分段法去掉绝对值符号
所谓零点分段法,是指:若数,,……,分别使含有|-|,|-|,……,|-|的代数式中相应绝对值为零,称,,……,为相应绝对值的零点,零点,,……,将数轴分为+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化。
利用数形结合去掉绝对值符号
解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对值的几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观,可以使复杂问题简单化,此解法适用于或(为正常数)类型不等式。对(或<),当||≠||时一般不用。
1、对于形如︱a︱的一类问题
只要根据绝对值的3个性质,判断出a的3种情况,便能快速去掉绝对值符号。
当a>0时,︱a︱=a (性质1,正数的绝对值是它本身) ;
当a=0 时︱a︱=0 (性质2,0的绝对值是0) ;
当 a<0 时;︱a︱=–a (性质3,负数的绝对值是它的相反数) 。
2、对于形如︱a+b︱的一类问题
我们只要把a+b看作是一个整体,判断出a+b的3种情况,根据绝对值的3个性质,便能快速去掉绝对值符号,正确进行化简。
当a+b>0时,︱a+b︱=