证明根号2是无理数的八种方法.docx

怎样证明是一个无理数
是一个非常著名的无理数,第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”,唤醒的却是数学家们对数的重新认识,实数的概念开始确立,在此意义上讲,的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.
换一个角度来看这个数,我们可以把它看作一根“晾衣绳”,上面挂着许多有趣的方法,,从而体会这一点.
证法1:,即可以表示为一个分数的形式=.其中(a,b)=1,、1、4、5、6、9中的一个,因此的尾数只能是0、2、,所以与的尾数都是0,因此的尾数只能是0或5,因此a与b有公因数5,与(a,b)=1矛盾!因此是无理数.
这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.
证法2:=.其中(a,b)=1,,设a=2c,则,,可知b也是偶数,因此a、b都是偶数,这与(a,b)=1矛盾!因此是无理数.
希帕索斯就是用这种方法证明了不是有理数,动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌,希帕索斯因此葬身海底.
证法3:仿上,得到,易见b>1,否则b=1,则=a是一个整数,>1,因此b有素因子p,因此p整除或a,总之,p整除a,因此p同时整除a与b,这与(a,b)=1矛盾.
证法4:仿上,得到,等式变形为,因为b>1,因此存在素因子p,p整除a+b或a-b之一,则同时整除a+b与a-b,因此p整除a,因此p是a、b的公因数,与(a,b)=1矛盾.
证法5:利用代数基本定理,如果不考虑素因子的顺序,任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式,因此,,其中与都是素数