第一章预备知识 第二节内积空间
内积空间和例子
与内积有关的概念及关系式
标准正交基与Gram-Schmidt过程
一、内积空间和例子
定义1 设V 是F 上的一个线性空间,在V上定义一个
二元函数,记为<x,y> ,:
(1) 正定性:
(2)共轭对称性:
(3)第一变元的可加性:
(4)第一变元的齐次性:
称V是一个内积空间.
例1
例2
定义2 有限维的实内积空间叫做欧氏空间,有限维
的复内积空间叫做酉空间.
二、与内积有关的概念及关系式
定义3 设V 是一个内积空间,称为向量x的长
度(或模),记作.
向量模的性质
(1)
(2)
(3)
(4)
(Cauchy-Schwarz不等式)
(5)
(6)
定义4 内积空间V 中的两个向量x、y,如果
成立,则称它们相互正交,记为x⊥y.
夹角余弦的性质
(1)
(2) x⊥y
定义5 设x、y为两个非零向量,称为它们的广
义夹角余弦,记为.
正交向量组模的性质
(2)
(广义勾股定理)
(1) 若(i=1,2, …,n)是两两正交的一组向量组,则
三、标准正交基底与Gram-Schmidt过程
定义6 在内积空间V中,一组不含零向量的向量组
,如果两两相互正交,则称之为一个
正交向量组.
定理1 正交向量组是线性无关的.
定义7 n维内积空间中的n个向量,
满足
则称之为该空间的一个标准正交基.
(1)正交化
定理2的证明过程是一个构造过程,通常叫做
Gram-Schmidt过程.
定理2 每个n维内积空间一定存在标准正交基.
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