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巧用函数单调性妙解数学题
范运灵
函数是高中数学的重要内容,函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题时,若能根据题目的结构特征,构造出一个适当的单调函数,往往能化难为易,化繁为简,获得巧解和妙解。下面举例说明。
一. 巧求代数式的值
例1. 已知,求的值。
解:已知条件可化为
设,则
而在R上是增函数
则有,即
所以
点评:本题关键是将条件转化为,再构造相应函数,利用单调性求解。
拓展练习:已知方程的根为α,方程的根为β,求α+β的值。(答案:)
二. 妙解方程
例2. 解方程
解:易见x=2是方程的一个解
原方程可化为
而(因为)
在R上是减函数,同样在R上是减函数
因此在R上是减函数
由此知:当时,
当时,
这说明与的数都不是方程的解,从而原方程仅有唯一解。
拓展训练:解方程。(答:)
点评:解该类型题有两大步骤:首先通过观察找出其特解,然后等价转化为的形式,最后根据的单调性得出原方程的解的结论。
三. 妙求函数的值域
例3. 求函数的值域。
解:令,则
因为,所以
而在内递增
所以
又
而
所以为所求原函数的值域。
四. 巧解不等式
例4. 解不等式
解:设
原不等式可化为
则,即
设
显然是R上的减函数,且,那么不等式
即
因此有,解得
点评:解不等式其实质是研究相应函数的零点,正负值问题。用函数观点来处理此类问题,不仅可优化解题过程,且能让我们迅速获得解题途径。
拓展训练:解不等式。(答:)
五. 巧证不等式
例5. 设,求证。
证明:当m,n中至少有一个为0时,则有,结论成立。
设
因为在上单调递增
所以与必同号,或同为0(当且仅当时)
从而
因此,原不等式成立(当且仅当或,或时取“=”号)。
点评:原不等式等价于,这可由幂函数在上递增而得到。
本题可拓展:令,则。
六. 巧解恒成立问题
例6. 已知函数对区间上的一切x值恒有意义,求a的取值范围。
解:依题意,
对上任意x的值恒成立
整理为对上任意x的值恒成立。
设,只需
而在上是增函数
则
所以
七. 巧建不等关系
例7. 给定抛物线,F是C的焦点,过点F的直线与C相交于A,B两点,设。若,求l在y轴上的截距的变化范围。
解:设
由,得
联立(1)(2)(3)(4),解得
所以或
所以的方程为或
当时,在y轴的截距为
令,则
所以在[4,9]上是减函数
故
所以直线在y轴上截距的取值范围是:
八. 巧解数列问题
例8. 已知数列是等差数列,。
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的通项,Sn是数列的前n项和,试比较与的大小,并证明你的结论。
解:(1)由,
有
得
因此
(2)
设(n为正整数)
所以
即在上是递增的
从而
即
所以当时,
当时,
一、求值
例1 设x,y为实数,且满足,则_______。
解:由已知条件,可得:
故若设,则上述条件即为:。
又易知函数在R上是单调增函数,所以由上式有:,即:。
二、解方程
例2 解方程。
解:原方程变为:
。
设,则原方程即为:,又,从而原方程即为:。
又易知函数在R上单调递增,所以有,解得原方程的解为:。
三、求最值
例