高一上学期数学知识点总结(必修1、4).docx

一、集合与元素
集合与元素概念
一般,我们把研究对象称为元素,把元素组成的总体叫集合
集合的三种特性
确定性。一个元素a与集合A的关系,要么,要么,两者必居其一,并且只居其一;
互异性。就是指集合中的所有的元素彼此都不相同;
无序性。集合中的元素可以随意排列顺序。
集合的表示方法
语言描述法。比如集合用语言描述法表示为“小于10的正奇数组成的集合”
列举法。例如、、
描述法。将集合中所有元素的共有特性用数学语言表示出来。例如或者
常用数集的简称
自然数集(非负整数集),记为N;(注意集合N中的元素为0,1,2,3,4,5,...)
正整数集,记为;(注意集合中的元素为1,2,3,4,5,...)
整数集,记为Z;
有理数集,记为Q;
实数集,记为R;
集合的形式有数的集合、点的集合、集合的集合(其中数的集合、点的集合常用)
6、子集:对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,那么称集合A为集合B的子集,记为(或)
7、空集:不含任何元素的集合叫空集,记为。注意,空集是任何集合的子集
8、子集的性质:①任何一个集合都是它自身的子集②若
9、真子集:若集合,且,那么集合A是集合B的真子集,记为AB。
注意空集是任何非空集合的真子集
10、元素与集合的关系有“属于”与“不属于”这两种,用符号表示
11、集合与集合的关系有“包含”、“不包含”这两种,用符号、表示;
其中“包含”有“真包含”和“相等”两种,用符号、=
13、并集:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与集合B的并集,用符号表示
14、交集:由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,用符号表示
函数概念
一、映射
(一)映射:设、是两个非空集合,如果按照某种对应法则,对中的任意一个元素,在中有一个且仅有一个元素与对应,:,
这时称是在映射的作用下的象,记作,.
集合叫做映射的定义域(函数定义域的推广),所有象构成的集合叫做映射的值域,记作.
注:1. 一对一、多对一是映射,一对多不是映射
2. 集合中的元素一定有象,集合中的元素不一定有原象.
(二)一一映射:如果是到的一个映射,并且对于集合中的任意一个元素,在集合中有且只有一个原象.
(三)映射是函数概念的推广,.
二、分段函数:在函数的定义域内,对于自变量的不同取值区间,有着不同的对应法则.
注:①分段函数是一个函数
②分段函数的定义域是自变量的取值区间的并集,值域是各个区间对应的值域的并集.
③解决分段函数的重要策略就是分类讨论.
三、函数的单调性
:一般地,设函数的定义域为,,若,,则称函数在区间上是增函数.
:一般地,设函数的定义域为,,若,,则称函数在区间上是减函数.
,在区间上为减函数;
一般地,对勾函数在区间上为增函数,在区间上为减函数;
,其中称为外函数,称为内函数.
当内外函数单调性相同时,为增函数;
当内外函数单调性相反时,为减函数.
,那么①当,则在上是
增函数; ②当,则在上是减函数

:
①设y=f(x),x∈A,如果对于任意∈A,都有,则称y=f(x)为偶函数。
②设y=f(x),x∈A,如果对于任意∈A,都有,则称y=f(x)为奇函数。
③如果函数是奇函数或偶函数,则称函数y=具有奇偶性。
:
①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称,
②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,
y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,
③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同,
函数对称的性质(课本以外)
(1)针对一个函数的对称性
①若,则函数的图象关于直线对称
②若,则函数的图象关于直线对称
③若,则函数的图象关于直线对称
(2)针对两个函数的对称性
①函数与函数的图象关于直线对称
函数周期性
①若,则函数的周期
②若,则函数的周期
③若,则函数的周期
④若,则函数的周期
1、指数函数定义
一般地,函数叫做指数函数.
2、指数函数图象与性质
图象
定义域
值域
性质
(1)过定点,即时,
(2)在上是减函数
(2)在上是增函数
(3)时,
时,
(3)时,
时,
(4)对于同一个,与的图象关于轴