数学分析竞赛辅导讲义.doc

高等数学(数学分析)竞赛辅导讲稿
(2010年11月20日)
函数
函数是数学分析中的基本概念,主要考察考生对函数的概念及性质的理解和掌握。包括函数的连续性。闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理),并会应用这些性质。
问题1 试证不存在上的连续函数,使得在无理数集上是一一映射,在有理数集上不是一一映射。
证若不然,则存在,使得且。设在上的最大值和最小值分别为和。若在上取常值,则在无理数集上不是一一映射。于是或。不妨设,,则由可数、开区间不可数知。
任取某个,分别在和上应用介值性定理
必有和使得且。因,故和都是无理数,这与在无理数集上是一一映射矛盾。
问题2 若一族开区间覆盖了闭区间,则必存在一个正数,使得中的任意两点满足时,必属于某个开区间。
证不妨设每个开区间都是有限区间。
作函数,。
连续,且。而闭区间上的连续函数一定有最小值,令
。(连续性的证明:
,
=
,取上确界得
即,同理,于是
,故取,当时,
,所以是上的连续函数。)
(3),,因此存在,使得,从而。
(4)而满足的点必在某个中(事实上取即可),从而命题得证。
练习1 设在上可导,且。证明:对任意正数、,必存在内的两个不同的数与,使
。
证设,令C0=,则0< C0<1。因
且在[0, 1]上连续,由介值性定理存在,使得= C0。现在在[0,c]上利用拉格朗日中值定理,存在,有
。
同理在[c,1]上利用拉格朗日中值定理存在,有
。
于是
。
命题得证。
极限
数列和函数极限的计算,以及有关问题的讨论,无穷阶的比较,实数完备性理论及其应用。
问题3 设求。
证首先证明是递增数列.
,假设成立,则
, 因此是递增数列.
再证明是有界数列. .
显然成立. 成立.
设成立,则
,
因此,成立.
根据单调有界定理知知收敛,设,在两边取极限,得,解得或
,但由于, 因此, 从而.
练习2 设,求。
证显然首先证明,.
, 若假设, .
又由, 即是递增数列且有上界, 根据单调有界定理知收敛,设, 在两边取极限,得,解得或,但由于, 因此, 从而.
练习3 设,求证: 存在。
[分析] 两个事实:1) 单调递增;
2) 单调递减。
有不等式。
证=,故{}单调下降,且=
。
存在。
注,其中是欧拉常数。
积分中值定理
函数可导性的研究,微分中值定理及其应用,利用导数研究函数的性质(单调性,凹凸性等)以及导数的应用(极值、最大值和最小值等)。
问题4 设是常数,求证。
解由积分第一中值定理知,有
故原式。
练习4 。
解由积分第一中值定理知,有
故原式==0。
积分
不定积分和定积分的计算,定积分的性质以及变上,下限的积分,定积分的应用和广义积分。
问题5 求积分。
解(1)
代入(1)得
原式
=
=。
练习5 证明:。
分析:令。
练习6 证明。
分析:令,再利用积分第二中值定理。
定理: 设在上Riemann可积,则
,使在处连续。
证明:作分划。因在上Riemann可积,取,存在,使
(其中,以下类似定义。)
所以,因此至少有三个,使。取使。作区间,则在上Riema