18.1 勾股定理(3)---勾股定理的证明 2.ppt

勾股定理(3)---勾股定理的证明
两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣。因为这个定理太贴近人们的生活实际,以致于古往今来,下至平民百姓,上至帝王总统都愿意探讨它的证明,因此不断涌现新的证法。下面我们一起学习几种证明勾股定理的方法。
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a2+b2=c2
b2
c2
a2
赵爽的“弦图”
早在公元3世纪,我国数学家赵爽就用左边的图形验证了“勾股定理”。
在北京召开的2002年国际数学家大会(TCM-2002)的会标,其图案正是“弦图”,它标志着中国古代的数学成就.
思考:你能验证吗?
赵爽指出:按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实。加差实,亦成弦实。
赵爽弦图
朱实
朱实
朱实
C
c
A
B
a
b
a
b
c
朱实
C2=
(2×
ab)
+
(a-b)2
a2+b2
=
2 ×
(4)
(3)
(2)
(1)
(1)
(2)
(3)
(4)
c
c
c
c
(a-b)2
(a-b)2
C2-4×
ab
=
a2 + b2 = c2
可得:
a2+b2-2ab = c2-2ab
b
C
a
想一想:这四个直角三角形还能怎样拼?
证法一
b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
大正方形的面积该怎样表示?
(a+b)2
=
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
可得: a2 + b2 = c2
证法二
在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,,伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子,用树枝在地上画一个直角三角形,于是伽菲尔德便问,你们在干什么?只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别是3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀。”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢?”伽菲尔德不假思索地回答到:“那斜边的平方,一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?……”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题。
证法 3
(a + b)(b + a) =
a2 +
 a2 + b2 = c2
a
a
b
b
c
c
伽菲尔德经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统后,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就称这一证法称为“总统”证法。
∟
∟
∟
c2
+ 2( )
+ ab
+ b2
=
c2
ab
ab
 a2 + b2 = c2
a2
b2
a2
c2
毕达哥拉斯证法
证法 4: