数列通项公式的求法第二计.doc

每周一计第二计——由递推关系求数列通项公式
给定初始条件和递推关系是确定数列的一种方法,这类问题是近年来高考中的重点、热点问题。
形如an+1-an=f(n)型
(1)若f(n)为常数,即:an+1-an=d,此时数列为等差数列,则an=a1+(n-1) d.
(2)若f(n)为n的函数时,用迭加法.
例1. 已知数列{an}满足,证明
证明:由已知得:an-an-1=3n-1,故
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+···+(a2-a1)+a1=
.
练一练1:已知数列{an}满足,,求此数列的通项公式. (答案: )
(1)当f(n)为常数,即:(q≠0),此时数列为等比数列,=.
(2)当f(n)为n的函数时,用累乘法.
{an}是首项为1的正项数列,且(n+1) a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是an=________.
解:已知等式可化为:(an+1+an)[(n+1) an+1-nan]=0
()(n+1), 即时,
==.
评注:本题是关于an和an+1的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到an与an+1的更为明显的关系式,从而求出an.
练一练2:已知an+1=nan+n-1,a1>-1,求数列{an}的通项公式.(-1.)
+1=can+d(c≠0且c≠1,d≠0其中a1=a)型
用待定系数法构造辅助数列.
规律:将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式
{an}中,求通项.
分析:两边直接加上,构造新的等比数列。
解:由得,
所以数列构成以为首项,以为公比的等比数列
所以,即.
+1=pan+f(n)型
(1)若(其中k,b是常数,且) 用构造法
{an}中,a1=1,an+1=3an+2n求通项an.
解:设an+1+p(n+1)+d=3(an+pn+d) 则an+1=3an+2pn+2d-p
an+1=3an+2n ∴2p=2 2d-p=0 则p=1,d=
令cn=an+n+ +1=3cn , {cn}是等比数列,公比为3
∵c1= 则∴
练一练3:在数列{an}中,,2an-an-1=6n-3求通项an.(.)
(2)若f(n)=qn (其中q是常数,p≠1且n≠0,1)
方法(i). 两边同除以pn+: ,
令,则,变型为类型1,累加求通项.
(ii).两边同除以qn+1 .即: ,
令,,
(iii).待定系数法:
设an+1+λqn+1=p(an+λqn).则an+1=pan+λ(p-q)qn),,令
则cn+1=pcn {cn}是等比数列,}通项。
,且an=3n-1-2an-1 .求通项an.
解:设an+λ·3n=-2(an-1+λ·3n-1), 即: an=-2an-1-5λ·3n-1,
比较系数得:,所以所以,
所以数列是公比为-2,首项为的等比数列.
即.
5、形如()型取倒数法
例6. 已知数列{an}中,a1=2, ,求通项公式an。
解:取倒数:

6、形如f(Sn,n)=0