高速公路修建的最优化问题.doc

电子科技大学
数学建模试验报告(科A208)
学生姓名:

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一、实验题目名称: 高速公路
二、实验内容:
A城和B城之间准备建一条高速公路,B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处,它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关,下图给出了整个地区的大致地貌情况,显示可分为三条沿东西方向的地形带。平原每公里的造价C1=400万元/公里;高地每公里的造价C2=800万元/公里;高山每公里的造价C3=1200万元/公里。
你的任务是建立一个数学模型,在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下,确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的,但不一定最便宜。而路径ARSB过山地的路段最短,但是否是最好的路径呢?
你怎样使你的模型适合于下面两个限制条件的情况呢?
当道路转弯是,角度至少为1400。
道路必须通过一个已知地点(如P,在A城南7公里,东15公里处)。
平原
R · P 高地
高高山
高地
地
S 平原
平
A


B
三、实验目的:
(1)建立一个优化模型;
(2)学会应用MATLAB优化工具箱求解非线性规划问题。
四、问题分析和建模方向:
在建设高速公路时,总是希望建造费用最小。如果要建造的起点、终点在同一地貌中,那么最佳路线则是两点间连接的线段,这样费用则最省。因此本问题是一个典型的最优化问题,以建造费用最小为目标,需要做出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。在A城与B城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。优化目标是在A城与B城之间建造高速公路的费用。
对于道路转弯角度的约束,可以利用两向量的夹角加以限制,例如向量m=(x3,8)-(x2,4)和n=(x4,4)-(x3,8),满足约束条件时有cos<m,n>cos40°,即 cos40°,共有5个类似的约束条件。
五、模型假设与变量符合说明:
:在第i个汇合点上的横坐标(以左下角为直角坐标原点),i=1,2,…,4;x=[x1,x2,x3,x4]T
li :第i段南北方向的长度(i=1,2,…,6)
Si:在第i段上地所建公路的长度(i=1,2,…,6)(将高地上P点两侧视为两段地形)
C1:平原每公里的造价(单位:万元/公里)
C2:高地每公里的造价(单位:万元/公里)
C3:高山每公里的造价(单位:万元/公里)
模型假设:
(1)假设在相同地貌中修建高速公路,建造费用与公路长度成正比;
(2)假设在相同地貌中修建高速公路在一条直线上。在理论上,可以使得建造费用最少,当然实际中一般达不到。
六、模型建立与求解(算法,程序):
主程序
function x=highway()
clear all
global C L M xp
C=[400 800 1200];
L=[4 3 1 4 4 4];
M=cos(40*pi/180);
xp=15; x=fmincon('objfun',ones(1,4),[],[],[],[],zeros(1,4),ones(1,4)*30,'constraint');
expense=objfun(x)
C=ones(3,1);
length=objfun(x)
目标函数
func