等差数列知识点解读.doc

等差数列
、通项公式、求和公式、性质等
等差数列
定义
{an}为等差数列an+1-an=d(常数),n∈N+2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+)
通项公式
1)=+(n-1)d=+(n-k)d;=+-d
2)推广:an=am+(n-m)d.
3)变式:a1=an-(n-1)d,d=,d=,由此联想点列(n,an)所在直线的斜率.
求和公式
1)
2)变式:===a1+(n-1)·=an+(n-1)·(-).
等差中项
1)等差中项:若a、b、c成等差数列,则b称a与c的等差中项,且b=;a、b、c成等差数列是2b=a+)推广:2=
重
要
性
质
1
(反之不一定成立);特别地,当时,有;特例:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…。
2
下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…组成的数列仍为等差数列,公差为md.
3
成等差数列。
4
5
增减性
其
它
性
质
1
an=am+(n-m)d.
2
若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{λan+b}(λ、b为常数)是公差为λd的等差数列;若{bn}也是公差为d的等差数列,则{λ1an+λ2bn}(λ1、λ2为常数)也是等差数列且公差为λ1d+λ2d.
3
an=an+b,即an是n的一次型函数,系数a为等差数列的公差;
Sn=an2+bn,即Sn是n的不含常数项的二次函数;
:{an}为等差数列
即: ;
:a,a+d,a+2d或a-d,a,a+d;
四个数成等差可设:a-3d,a-d,a+d,a+3d.
题型1 等差数列的基本运算
例1 在等差数列{an}中,
(1)已知a15=10,a45=90,求a60;
(2)已知S12=84,S20=460,求S28;
变式训练1 设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和,求Tn.
题型2 等差数列的判定与证明
例2 已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n项和为Sn,且a3=5,S6=36.
求数列{an}的通项公式;
变式训练2 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+=,证明:数列{bn}是等差数列;
小结与拓展:证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是:1)利用定义,证明an